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1、Laplace定理 在行列式中，任取k行，则由这k行元素组成的一切k阶子式与其 对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。 93 二元线性方程组二元线性方程组二元线性方程组二元线性方程组 1111221 2112222 a xa xb a xa xb +=+=+=+= +=+=+=+= 若令若令若令若令 1112 2122 aa D aa = = = =( ( ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式方程组的系数行列式方程组的系数行列式) ) ) ) 7. Cramer法则 12 1 1 222 b b a D a = = = = 1 2 2 11 21 ba D ab = = = = 则上
2、述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为 1122122 1 11221221 D D b aa b x a aa a = = = = = = = = 1121212 2 11221221 a bb aD x a aa aD = 一、Cramer法则 如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组 11112211 21122222 (1) nn nn a xa xa xb a xa xaxb +=+=+=+= +=+=+=+= LLLL LLLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
3、LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 1122nnnnnn a xaxa xb +=+=+=+= LLLL 的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零，即即即即 11121 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa D aaa = LLLL LLLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLL 122 123 ,. (2) n n DDDD xxxx DDDD =LLLL 其中其中其中其中是把系数行列式是把系数行列式是把系数行列式是把系数行列式中第中第中第中第列的元素用方程组右端的列的元素用方程组右端的列的元素
4、用方程组右端的列的元素用方程组右端的 常数项代替后所得到的常数项代替后所得到的常数项代替后所得到的常数项代替后所得到的阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式，即即即即 j DDj n 那么线性方程组那么线性方程组那么线性方程组那么线性方程组(1)(1)(1)(1)有解并且解是唯一的有解并且解是唯一的有解并且解是唯一的有解并且解是唯一的，解可以表示成解可以表示成解可以表示成解可以表示成 常数项代替后所得到的常数项代替后所得到的常数项代替后所得到的常数项代替后所得到的阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式，即即即即 n 111,11,11 1,1,1 1jjn j nn jn jnnn aaaa D aaaa
5、 b b + + = = = = LLLLLLLL MMMMMMMMMMMMMMMM LLLLLLLL M M M M 定理中包含着三个结论定理中包含着三个结论定理中包含着三个结论定理中包含着三个结论： 方程组有解方程组有解方程组有解方程组有解；（解的存在性解的存在性解的存在性解的存在性） 解是唯一的解是唯一的解是唯一的解是唯一的；（解的唯一性解的唯一性解的唯一性解的唯一性） 解可以由公式解可以由公式解可以由公式解可以由公式( ( ( (2) ) ) )给出给出给出给出. . . . 这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的. . . . 应该注意应该注
6、意应该注意应该注意，该定理所讨论的只是系该定理所讨论的只是系该定理所讨论的只是系该定理所讨论的只是系这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的. . . . 应该注意应该注意应该注意应该注意，该定理所讨论的只是系该定理所讨论的只是系该定理所讨论的只是系该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组数行列式不为零的方程组数行列式不为零的方程组数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形至于系数行列式等于零的情形至于系数行列式等于零的情形至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论将在第三章的一般情形中一并讨论将在第三章的一般情形中一并讨论
7、将在第三章的一般情形中一并讨论. . . . 正面在书的正面在书的正面在书的正面在书的33333333页页页页：必要必要必要必要+ + + +充分充分充分充分 关于Cramer法则的等价命题 设设设设 11112211 21122222 1122 (1) nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xaxb a xaxa xb +=+=+=+= +=+=+=+= +=+=+=+= LLLL LLLL LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL LLLL 定理定理定理定理4如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组如果线性方程组
8、( ( ( (1) ) ) )的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零，则则则则 该线性方程组一定有解该线性方程组一定有解该线性方程组一定有解该线性方程组一定有解, , , ,而且解是唯一的而且解是唯一的而且解是唯一的而且解是唯一的 . . . . 定理定理定理定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解如果线性方程组无解或有两个不同的解如果线性方程组无解或有两个不同的解如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的则它的则它的则它的 系数行列式必为零系数行列式必为零系数行列式必为零系数行列式必为零. . . . 1122nnnnnn a xaxa xb+=+
9、=+=+= 例例例例解线性方程组解线性方程组解线性方程组解线性方程组 1234 124 234 1234 258, 369, 225, 4760. xxxx xxx xxx xxxx +=+=+=+= = += += += += +=+=+=+= 解解解解 2151 1306 0212 1476 D = = = = 12 2rr 42 rr 07513 1306 0212 07712 7513 212 7712 = = = = 12 2cc+ + + + 32 2cc+ + + + 353 010 772 8151 2851 270= 1 9306 5212 0476 81 D = = = =
10、 = = = = 2 1906 0512 1076 =108 D = = = = 3 2181 1396 0252 1406 27 D = = = = = = = = 4 2158 1309 0215 1470 27 D = = = = = = = = 1 1 81 3, 27 D x D = 2 2 108 4, 27 D x D = 3 3 27 1, 27 D x D = 4 4 27 1. 27 D x D = 思考题思考题思考题思考题 当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时，能否用能否用能否用能否用Cr
11、amerCramerCramerCramer法则法则法则法则 解方程组解方程组解方程组解方程组？为什么为什么为什么为什么？此时方程组的解为何此时方程组的解为何此时方程组的解为何此时方程组的解为何？ 答答答答：当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时，不能用不能用不能用不能用CramerCramerCramerCramer法法法法 则解方程组则解方程组则解方程组则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解因为此时方程组的解为无解或有无穷多解因为此时方程组的解为无解或有无穷多解因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
12、 . . . 1. 用用用用Cramer法则解线性方程组的两个条件法则解线性方程组的两个条件法则解线性方程组的两个条件法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零系数行列式不等于零系数行列式不等于零. 三、小结 2. Cramer法则的意义主要在于建立了线性方程组的解法则的意义主要在于建立了线性方程组的解法则的意义主要在于建立了线性方程组的解法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系和已知的系数以及常数项之间的关系和已知的系数以及常数项之间的
13、关系和已知的系数以及常数项之间的关系它主要适用于它主要适用于它主要适用于它主要适用于 理论推导理论推导理论推导理论推导 当未知量个数较多时当未知量个数较多时当未知量个数较多时当未知量个数较多时，计算行列式较为繁琐计算行列式较为繁琐计算行列式较为繁琐计算行列式较为繁琐， 所以这个方法解线性方程组不是特别实用所以这个方法解线性方程组不是特别实用所以这个方法解线性方程组不是特别实用所以这个方法解线性方程组不是特别实用，第三章继续讨论第三章继续讨论第三章继续讨论第三章继续讨论 线性代数 第二章 矩阵 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-2-28 1矩阵矩阵矩阵矩阵 一一一一、矩阵概念的引入矩阵概念的引入矩阵概念的引入矩阵概念的引入 二二二二、矩阵的定义矩阵的定义矩阵的定义矩阵的定义 三三三三、特殊的矩阵特殊的矩阵特殊的矩阵特殊的矩阵 四四四四、矩阵与线性变换矩阵与线性变换矩阵与线性变换矩阵与线性变换 例例例例某航空公司在某航空公司在某航空公司在某航空公司在 A、B、C、D 四座四座四座四座 城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线，四座城市四座城市四座城市四座城市 之间的航班图如图所示之间的航班图如图所示之间的航班图如图所示之间的航班图如图所
