复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性变换课件复习资料

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1、第第第五五五章章章线线线性性性变变变换换换上一章中介绍了线性空间的概念, 本章将讨论线性空间之间的联系. 它们之间的联系主要反映为线性空间之间的映射, 所以研究定义域和值域都是线性(子)空间的映射是数学分析的基本目标之一, 其中最简单和最基本的一类映射是线性变换(Linear Transformation). 它也是线性代数中一个主要研究对象.5.1线性变换基本概念先来讨论线性空间 V 到自身的映射, 常称为V 的一个变换. 用符号表示, 即 : V 7 V .5.1.1线性变换定义与性质定定定义义义 5.1. 数域F上的n维线性空间V 的一个变换, 对于V 中的任意两个向量x,y 和数c F

2、, 若满足下列条件:(1) (x + y) = (x) + (y).(2) (cx) = c (x).则称为线性变换.例例例 1. 设V 是数域F上的线性空间, 给定c F定义变换c: V 7 V , 其中 c(x) = cx, 显然它满足线性变换定义中的两个条件. 若c = 1, 则称1为V 上的恒等变换, 若c = 0, 则称0为V 上的零变换.例例例 2. 数域F上的n次多项式空间Fxn, 变换d/dx : Fxn7 Fxn, 是对Fxn中的任意多项式求它导数, 即a0+ a1x + a2x2+ + anxnd/dx7 a1+ 2a2x + + nanxn1显然d/dx满足线性变换的两个

3、条件.例例例 3. 设 f : R27 R2, 其中?xy?f7?2x3x 2y?x1y1?T,?x2y2?T和c R, 有?x1+ x2y1+ y2?f7?2(x1+ x2)3(x1+ x2) 2(y1+ y2)?=?2x13x1 2y1?+?2x23x2 2y2?c?x1y1?f7?2cx13cx1 2cy1?= c?2x13x1 2y1?可见, f是线性变换.例例例 4. 平面几何中的向量的旋转映射 , 即将向量 a映射为绕原点逆时针旋转角后的向量 a0. 它满足对任意的 a,b和常数c.? a +b?= ( a) + ?b?,(c a) = c( a)因此旋转变换是线性变换.1 a a

4、 +bb( a)( a) + (b)(b)图 5.1: 旋转变换例例例 5. 三维几何空间中关于平面的镜像变换, 就是以过原点的平面L为“镜面”,单位向量 n是镜面L的法向, 即 n L, 对任意向量 x 它的镜像x0为: x在法向 n上的投影的反射( x n) n与 x在镜面L上的投影向量 x( x n) n之和, 即 : x 7x0,其中x0= x 2( x n) n对任意向量 x, y 和实数c, 有 ( x + y) = x + y 2( x + y) n n= x + y 2( x n) n 2( y n) n = ( x) + ( y) (c x) =c x 2(c x n) n

5、= c( x 2( x n) n) = c ( x)是线性变换. nL xx0O x n图5.2: 镜像变换设是线性空间V 的任意线性变换, 则具有下列性质:(1) 对任意的V 中元素x 有 (x) = (x), 及 (0) = 0.(2) 线性变换保持线性组合或线性关系式不变: (c1x1+ c1x2+ + cnxn) = c1 (x1) + c2 (x2) + + cn (xn)(3) 线性相关的向量组经线性变换后仍保持线性相关.定定定义义义 5.2. 设 是数域F上线性空间V 的线性变换, 则将下列两个集合Ker() = N () =?x?x V (x) = 0?Im() = R() =

6、?y?y = (x),x V?(5.1)分别称为变换的核和的值域或像.定定定理理理 5.1.1. 设是数域F上线性空间V 的线性变换, 则Ker()和Im()是V 的子空间.证: (1). Ker() 和 Im() 均包含了0, 所以它们非空.(2). 加法封闭性x,y Ker(), (x + y) = (x) + (y) = 0 x + y Ker()y1,y2 Im(),x1,x2 V,使得y1= (x1),y2= (x2), y1+ y2= (x1) + (x2) = (x1+ x2) Im()(3). 数乘封闭性, 对c Fx Ker(), (cx) = c (x) = c0 = 0

7、cx Ker()y Im(),x V 使得y = (x),则cy = c (x) = (cx) Im()例例例 6. 数域F上的n次多项式空间Fxn, 设 = d/dx, 则Ker() = F, Im() = Fxn1.定定定理理理 5.1.2. 数域F上的线性空间V 的线性变换是一一映射, 当且仅当Ker() = 0.2证: 若 是一一映射, 设 (x) = 0, 根据线性变换性质(1)x = 0.反之, 若 Ker() = 0, 假设存在 x1,x2 V 使得 (x1) = (x2), 则根据线性变换的条件, 有0 = (x1) (x2) = (x1 x2)因 x1 x2 Ker() 即

8、x1= x2, 说明 是单射的, 同时 : V 7 V , 又是满射, 因此是一一映射.5.1.2线性变换的运算定定定义义义 5.3. 设 ,是数域F上线性空间V 的任意线性变换, 定义 + 为 V 7 V 的映射, 且x V,( + )(x) = (x) + (x)同时, 对任意的c F, 定义 c 是 V 7 V 的映射:x V,(c)(x) = c (x)定义5.3给出了线性变换间的加法和数乘运算, 根据定义易证线性变换的和与数乘也是线性变换,即满足线性变换的线性条件:对任意的x,y V 和c,d F, 有( + )(x + y)= (x + y) + (x + y)= (x) + (y

9、) + (x) + (y)=( + )(x) + ( + )(y)(c)(dx)=c (dx) = cd (x) = dc (x) = d(c)(x)关于线性空间V 上线性变换定义集合L(V ) =?是V 的线性变换?, 则有定定定理理理 5.1.3. L(V )关于定义5.3中的线性变换间的加法和数乘构成线性空间.(留给读者证明)定定定义义义 5.4. 设A是数域F上的线性空间, 在A上定义“乘法”运算, 用符号“”表示, 事实上“”: A A 7 A. 它使得对A中的任意元素, 和数c F, 满足以下条件:(1) “乘法”成立结合律, 即 ( ) = ( ) ;(2) A中存在元素e, 使

10、得e = e = .(3) “乘法”成立分配律, 即 ( + ) = + ,(左分配律)( + ) = + ,(右分配率)(c) = c( ) = (c)则称A是数域F上的代数, 而元素e称为A的恒等元.有时常用“1”表示恒等元, 但注意与数域F中的1的区别.定定定义义义 5.5. 对线性空间L(V ) 定义线性变换的“乘法”, 即, L(V ), = ( ()定定定理理理 5.1.4. 设V 是数域F上的线性空间, 则L(V )是F上的代数.3证: 验证L(V )上关于线性变换的乘法满足定义5.4中的三个条件:(1) 对 , L(V ), 有( ) = ( )( () = ( ( () =

11、( )() = ( )(2) L(V )中元素V 上的恒等变换“1V”即为e, 且对 V , 满足 1V = 1V= , 因此恒等变换是L(V )的恒等元.(3) 对, L(V ), 有 ( + )() = ( + )() = ( () + ()= ( () + ( () = ( )() + ( )()由此左分配律成立,即 ( + ) = + . 同理可证明右分配律成立.对c F, L(V ), 有(c) () = (c)( () = c ( () = c( )()从而, (c) = c( )成立. 同理可证 (c) = c().综上所述, L(V )是F上的代数.例例例 7. 设,为R2空间

12、上的线性变换, 分别定义如下:?xy? R2,?xy?=?xx y?,?xy?=?yx?求 =?32?T在变换 和 下的像.解: 根据变换的定义先求出变换乘积, = ?xy?= ?yx?=?yy x? = ?xy?= ?xx y?=?x yx?将代入, 得变换 下的像为?25?T, 在 下的像为?53?T.下面定义线性变换的幂运算, 即对 L(V )0= 1V(V 上的恒等变换)n+1= n ,n N+根据L(V )上的乘法成立结合律, 可证明L(V )上的幂运算成立指数律, 即对n,m N, 有n m= n+m,(n)m= nm(5.2)对于数域F上的任意多项式:f(x) = a0+ a1x

13、 + a2x2+ + anxn根据它, 可定义线性变换的多项式:f() = a01V+ a1 + a22+ + ann若是一一映射, 则变换可逆, 记为1, 又称它为的逆变换. 显然, 它们也是V 7 V 的自同构映射. 因而在可逆的前提下, 可定义它的负数次幂:n=?1?n.因L(V )上的乘法一般不满足交换律, 所以 , L(V ), 一般 6= , 且 ( )n6= nn; 若,都可逆, 则有:( )1= 1 1; 对于非零数k F有: (k)1= k11.(这些结论读者自行证明)45.2线性变换与矩阵下面研究线性变换与矩阵之间的关系.5.2.1线性变换的矩阵表示设V 是数域F上的n维线

14、性空间, B = 1,2,.,n 是V 的基, 则对x V 可表示成 x =nXi=1xii, 考察V 上的线性变换 有: (x) =nXi=1xi (i)可见, V 中任意向量在线性变换下的像可表示为V 中的基在线性变换下的像的线性组合. 因是V 到V 的线性变换, 因此 (i)(i = 1,2,.,n) 在基B下可表示成? (1) (2) (n)?=?12n?a11a12a1na21a22a2n.an1an2ann(5.3)上式中矩阵aij的第j列向量aj事实上是 (j)在基 B下的坐标, 按上一章中坐标的记法, 如 向量x在基B下的坐标表示为 xB, 可将矩阵aij 记为 (B)B, 则

15、V 中任意向量x 经线性变换 后的像可表示成: (x) = B (B)BxB(5.4)由式(5.4)可知, 当V 选定基B以后, V 上的线性变换与矩阵 (B)B对应. 由任意向量在基下表示的唯一性, 线性变换对应的矩阵 (B)B是唯一的. 反之, 对于n阶方阵A Fnn是否唯一对应一个线性变换? 下述定理说明结论是成立的.定定定理理理 5.2.1. 数域F上的n维线性空间V , 对A Fnn都存在V 上唯一的线性变换与之对应.证: 设 B = 1,2,.,n 是线性空间V 的基, 对A Fnn按下列方式构造一组向量j= Baj,j = 1,2,.,n(5.5)其中 aj为矩阵A的第j列向量,

16、 从向量构造形式看就是将矩阵A的第 j 列向量视作 j在基B下的坐标.由坐标的唯一性可知, 向量组j(j = 1,2,.,n)由矩阵A唯一确定. 同时, 对V 的任意向量x, 在基B下的坐标表示为xB, 即x = BxB. 现定义V 上的变换, 它满足下列条件, 对x V 有 (x) =?123?xB= BAxB(5.6)利用B是V 上的同构映射, 对x,y V , 有 (x + y)=?12n?x + yB=?12n?(xB+ yB) = (x) + (y)同理, 对k F, (kx) =?12n?kxB= k?12n?xB= k (x)这就证明了 是V 上的线性变换. 若令x = j, 则

17、xB= ej, 根据定义式(5.6)有 (j) = j. 同样根据式(5.6)可知这种对应关系是唯一的.定定定理理理 5.2.2. 数域F上n维线性空间V 的所有线性变换构成的线性空间L(V ), 则 L(V )和Fnn同构.根据本节开始的叙述, 在选取V 的基后, 存在一种L(V )到Fnn的一种一一对应关系, 只需证明这种对应关系同时对线性变换的加法、数乘、乘法和矩阵的加法、数乘、乘法之间满足线性条件. 详细证明留作练习.例例例 8. 分别求例14中线性变换对应的矩阵.5解: (1) 对例1定义的线性变换, 取V 的基B = 1,2,.,n, 则有? (1) (2) (n)?=?c1c2c

18、n?= BcE对应矩阵为cE.(2). 选取空间Fxn的基为 B =?1,x,x2, ,xn?,则?ddx(1)ddx(x)ddx?x2?ddx(xn)?=?1xx2xn?0100.020.000n000= BD则D为线性变换d/dx对应的矩阵.(3). 取B =?10?,?01?为 R2的基, 在线性变换f下有?f?10?f?10? ?=?1001?2032?= Bf则矩阵f为线性变换f对应的矩阵.(4).iji0j0取二维几何空间中的标准正交向量i,j为基, 实施旋转变换后为i0,j0(如图)h?i?j? i=?ij?cossinsincos?(5.7)这小节建立了线性变换与矩阵之间的联系

19、, 即线性变换与矩阵之间一一对应, 从而可通过矩阵工具来研究线性变换.5.2.2线性变换在不同基下的矩阵间的关系上一小节讨论了线性空间V 中的任意线性变换在选定基以后与矩阵唯一对应. 本节将讨论若选择不同的基, 则与线性变换相应的矩阵之间有怎样的关系?定定定理理理 5.2.3. 设B1= 1,2,.,n 和 B2= 1,2,.,n 为数域F上的n维线性空间V 的两个基, 为 V上的任意线性变换, 则在两个基下对应的矩阵 (B1)B1, (B2)B2之间成立下列关系: (B1)B1= M1 (B2)B2M(5.8)其中M是基B2到B1的过渡矩阵.证: x V , 根据式(5.4), 在基B1,B

20、2下有 (x) = B1 (B1)B1xB1= B2 (B2)B2xB2由M 为B2到B1的过渡矩阵, 有B1M1= B2及两个基下坐标之间转换关系 xB2= MxB1, 将它们代入上式中, 得B1 (B1)B1xB1= B1M1 (B2)B2MxB1由B1为V 的基和向量x的任意性, 得到 (B1)B1= M1 (B2)B2M6定定定义义义 5.6. 设A,B Fnn, 若存在可逆矩阵P Fnn使得P1AP = B(5.9)则称矩阵A相似于B, 记为A B将相似视作Fnn上矩阵之间的关系, 它具有下述性质:A,B,C Fnn(1) 自反性, 设E为F上的单位矩阵, 使得E1AE = A, 即

21、A A.(2) 对称性, 若A B, 则存在可逆矩阵P, 使得P1AP = B, 而A =?P1?1BP1, 即 B A.(3) 传递性, 若A B, B C, 则存在可逆矩阵 P,Q, 使得 P1AP = B 和Q1BQ = C, 则(PQ)1A(PQ) = C, 即 A C.因此矩阵的相似关系是Fnn上的一种等价关系. 如果不考虑线性变换的基的选择, 则一个线性变换对应Fnn中的一个相似等价类.例例例 9. 设B1= 1,2,3 和 B2= 1,2,3 为线性空间R3的两个基, 从B1到B2的过渡矩阵M为M =100110111,即 B2= B1MR3上线性变换在基B1的矩阵为 (B1)B

22、1=101320123求在基B2下对应的矩阵.解: 因 (B1)B1= M (B2)B2M1, 所以 (B2)B2=1001101111101320123100110111=011531133例例例 10. 平面上的旋转变换在标准正交基B1=ni,jo下的矩阵如式(5.7)所示, 基B2=n a,bo, 其中 a =i +j,b =i 2j, 求旋转变换在基B2下的矩阵.解: 根据题意有: B2= B1M, 其中M =?1112?则(B2)B2=M1(B2)B2M =13?2111?cossinsincos?1112?=13?3cos sin5sin2sin3cos + sin?上述建立了同一

23、变换在不同基下的矩阵表示之间的相似关系. 反之, 两个相似的矩阵也可以理解为同一线性变换在不同基下的表示. 对于一个线性变换, 如何寻找适当的基, 使得它在这组基下的矩阵表示具有间单的形式, 这将是下一节讨论的问题.5.3特征值和特征向量5.3.1不变子空间利用线性变换可生成子空间, 如线性变换的核和像. 反之, 与子空间相关的线性变换也会提供一些重要信息, 例如: 哪些子空间在线性变换下的 具有不变性. 下面先给出不变子空间的定义.7定定定义义义 5.7. 设是线性空间V 上的线性变换, S 是V 的子空间, 若S在变换下的像 (S) S, 则称 S 是-不变子空间.例例例 11. 线性变换

24、的核Ker() 和像Im() 是 -不变子空间.例例例 12. 设是V 上的数乘变换, 即存在常数c, (x) = cx, 则V 的任意子空间均是-不变子空间.定定定理理理 5.3.1. S是n维线性空间V 上线性变换的不变子空间, 设S的基为BS= 1,2,.,r(0 r n), 将它扩充成V 的基BV= 1,2,.,r,r+1,.,n =?BSBE?, 则在基BV下的矩阵具有下列形状:a11a12a1ra1(r+1)a1nar1ar2arrar(r+1)arn000a(r+1)(r+1)000an(r+1)ann(5.10)证: 因S是的不变子空间, 则? (1) (2) (r)?= BS

25、AS? (r+1) (r)?=?BSBE?A1A2?其中As=a11a1rar1arr,A1=a1(r+1)a1nar(r+1)arn,A2=a(r+1)(r+1)a(r+1)nan(r+1)ann,则? (1) (r) (r+1) (n)?=?BSBE?ASA10A2?反之, 若矩阵具有式(5.10)形式, 因矩阵与线性变换之间一一对应, 则与该矩阵对应的线性变换必存在不变子空间.推推推论论论 1. 设V = V1 V2且V1,V2都是线性变换的不变子空间, 若V1的基为B1= 1,2,.,r, V2的基为B2= 1,2,.,nr, 则 在基B = B1,B2 下的矩阵形式为?A100A2?

26、(5.11)类似定理5.3.1即可证明.例例例 13. 为R3的线性变换, 在基B = 1,2,3下的变换矩阵为311221220, 令1= 3,2= 1+ 2+ 23,且 S = span1,2. 求证: S是变换的不变子空间.证: 易证, 1,2线性无关, 构成S的一组基. (1) = B (B)B1B= B311221220001= B110= 21 2 S (2) = B (B)B2B= B311221220112= B224= 22 S对x S, x = x11+ x22, 则 (x) = x1 (1) + x2 (2) = 2x11+ (2x2 x1)2 S因此S是-不变子空间.下

27、面讨论在给定线性变换对应的矩阵后, 如何寻找它的不变子空间.85.3.2特征值与特征向量后续的讨论中若无特殊交代, 数域F取实数域R. 设n维欧式空间Rn的某个线性变换在选定基下(如自然基e1,e2,.,en)对应的矩阵为A Rnn, 若S是-不变子空间, 则对 x S, 有 (x) S. 特别地当dimS = 1时,有 (x) = x, 其中 R. 关于如何求线性变换的不变子空间有如下定义.定定定义义义 5.8. 设是数域F上线性空间V 的一个线性变换, 存在某个数 F和x V , 且x 6= 0, 使得 (x) = x(5.12)则称为线性变换的一个特征值, 而称x为关于特征值的特征向量.

28、将关于特征值的所有特征向量和零向量构成的集合记为V, 即V=?x?x V (x) = x?(5.13)则关于V有下列性质:定定定理理理 5.3.2. 由式(5.13)定义的V是V 的线性子空间, 而且是-不变子空间.证: 考察线性空间V 的加法与数乘在V上的封闭性, 即对x,y V和c F, 有 (x + y) = (x) + (y) = (x + y) V (cx) = c (x) = (cx) V可见V中元素关于加法和数乘是封闭的, 因此它是V 的子空间. 另外, V中任意向量在变换下的像还是属于V, 即V是-不变子空间.通常将V称为线性变换的特征子空间.例例例 14. 例5中的镜像变换,

29、 其中平面L中的点构成对应特征值为1的不变子空间. 而过原点与法向 n平行的直线上的点构成特征值为1的-不变子空间.接下来讨论: 给定一个线性变换, 如何求它的特征值和特征向量?根据本章第2节的结论, 当n维线性空间V 选定一个基后, V 上的线性变换与矩阵一一对应, 线性变换 在基B = 1,2,.,n下对应矩阵为 (B)B, 根据特征值和特征向量的定义, 有B (B)BxB= BxB为方便起见, 令A = (B)B, 而特征向量在基B下的坐标用向量X表示, 即X = xB, 由此得到特征值、特征向量坐标必须满足下列方程AX = X(5.14)移项后得:(E A)X = 0,X 6= 0(5

30、.15)由齐次线性方程组的解理论知, 方程组(5.15)有非零解x 6= 0, 当且仅当 rank(E A) 1则相应的根称为退化特征值.在求得特征多项式的根(特征根或特征值)以后, 再将特征值i代入方程(5.15), 得(iE A)X = 0此时, 因det(iE A) = 0, 所以方程必有非零解, 它的基础解系的秩等于核空间 Ker(iE A)的维数, 通常将i对应特征方程组的基础解系的秩或 dimKer(iE A)称为i的几何重数. 特征值的几何重数和代数重数之间成立下列定理:定定定理理理 5.3.3. 设0是n阶方阵A的任一特征值, 则0的几何重数不超过它的代数重数. 即1 dimK

31、er(0E A) 0的代数重数(5.18)证: 设特征方程组(0E A)X = 0的基础解系为 X1,X2,.,Xk,即0的几何重数为k, 不妨设它们相互正交且标准化, 即 (Xi,Xj) =?1,i = j0,i 6= j, 否则可通过Gram-Schmidt过程将它们正交标准化, 将这组基础解系扩充成n维空间的一组标准正交基, 令矩阵 由这些标准正交基为列向量构成: = X1,X2,.,Xk,Xk+1,.,Xn因此 是正交矩阵(或酉矩阵), 即1= T(酉矩阵时用共轭转置), 进一步将 分块成: =?12?其中1=?X1X2Xr?,2=?Xr+1Xr+2Xn?则B = TA =?12?TA

32、?12?=?0EkT1A20T2A2?显然, 矩阵A与B相似, 它们的特征多项式相同, 即det(E A) = det(E B) = ( 0)kdet?E T2A2?由上式可见0的代数重数至少是k(0的几何重数).10例例例 15. 设为R27 R2的线性变换, 定义为?xy?=?2x 3yx + 6y?选择R2的两组基B1,B2, 其中B1=?10?,?01?,B2=?11?,?01?(a) 分别求线性变换在基B1,B2下对应矩阵的特征值和特征向量;(b) 求的特征子空间.解: (1) 确定两组基下的变换矩阵A = (B1)B1=?2316?,B = (B2)B2=?1389?则特征多项式f

33、A() = fB() = det(E A) = 2 8 + 15特征根为1= 3,2= 5.特征值特征方程特征向量1= 3 :1E AX = 0 ?1313?x1x2?= 0XA1=?31?1E BX = 0 ?4386?x1x2?= 0XB1=?34?2= 5 :2E AX = 0 ?3311?x1x2?= 0XA2=?11?2E BX = 0 ?6384?x1x2?= 0XB2=?12?(2) 的不变子空间:V1=?cB1XA1?c R?=?cB2XB1?c R?=?c?31?c R?V2=?cB1XA2?c R?=?cB2XB2?c R?=?c?11?c R?由此例可见, 特征多项式、特

34、征值及变换的不变子空间与基的选择无关, 但不同基下(坐标)特征向量与基的选择有关.例例例 16. 求矩阵A =210101131的特征值和特征向量.11解:特征多项式: f () = det 2101113 1= 3 32+ 4 = ( + 1)( 2)2, 求得特征根为1= 1,2= 3= 2. 将1代入特征方程得310111132x1x2x3= 0求得基础解系(特征向量)为:?134?T. 将2,3代入特征方程组得010121131x1x2x3= 0求得基础解系(特征向量)为:?101?T. 特征值2的代数重数为2, 但它的几何重数为1, 验证了不等式(5.18).定定定理理理 5.3.4

35、. 设是n维线性空间V 的线性变换, 1,2是的两个不同特征值, 则的两个特征子空间 V1,V2的交为0, 即 V1 V2= 0.证: 设向量x V1 V2, 则 (x) = 1x V1,且 (x) = 2x V20 = (0) = (x x) = 1x 2x = (1 2)x因16= 2, 所以1 26= 0, 只有 x = 0.定理结论可推广到k个不同特征值的特征子空间的两两交集均为0. 即定定定 理理理 5.3.5. 设是n维 线 性 空 间V 的 线 性 变 换, 1,2,.,k是的k个 不 同 特 征 值, 则的 特 征 子 空间V1,V2,.,Vk之间满足关系Vi Vj= 0,i

36、6= j = 1,2,.,k证明同定理5.3.4的.推推推论论论 2. 属于不同特征值的特征向量线性无关.推推推论论论 3. 设1,2,.,k为线性变换不同的特征值, 且i的几何重数为ri(i = 1,2,.,k), 对应特征值i的特征向量Xi1,Xi2,.,Xiri线性无关(基础解系性质), 则特征向量X11,X12,.,X1r1,X21,.,X2r2,.,Xk1,.,Xkrk线性无关.5.3.3Hamilton Cayley定理设为n维 线 性 空 间V 上 的 线 性 变 换, x为V 中 任 一 取 定 的 非 零 向 量, 对 它 实 施 多 次 变 换 后 得x, (x),2(x)

37、,3(x),.,n(x) 共n + 1个向量, 这组向量一定线性相关, 即存在不全为零的一组数使得下式成立:c0x + c1 (x) + + cnn(x) = 0或即写成(c01V+ c1 + + cnn)(x) = 0其中1V= 0表示V 上的恒等变换. 设多项式为f () = c0+ c1 + + n则 f ()(x) = 0, 这说明对取定的向量x总存在某个多项式 f (), 使得f ()(x) = 0, 若将x依次取V 的一个基1,2,.,n的每个基向量, 则得到关于每个基向量 i的一个多项式fi() 使得 fi()(i) = 0, 即f1(),f2(),.,fn()12且 fi()f

38、j() = fj()fi(), 若令g () =nYi=1fi()则g ()(i) = 0,i = 1,2,.,n上式中g ()对V 中一切向量作用后均为零, 这说明对V 上的任意线性变换总存在一个多项式g ()使得g ()等价于0V. 因线性变换与矩阵之间一一对应, 所以对任意n阶矩阵A 同样存在一个多项式g ()使得g (A) = 0, 通常称使得g (A) = 0的多项式g ()为A的化零多项式.定定定义义义 5.9. 对于任意n阶矩阵A, 存在一个首项系数为1 且次数最小的A化零多项式 m(), 称为A的最小多项式.定定定理理理 5.3.6. 若f()是矩阵A的化零多项式, 则A的最小

39、多项式m()是f()的因子.证: 用degf()表示多项式中的最高次幂的次数,显然degf() degm(), 因此对f()可唯一分解为f() = m()q () + r()其中degr() 0, 而r+1= r+2= . = n= 0. 令i=pi= kAvik,i = 1,2,.,r称i为矩阵A的奇异值. 将对应非零奇异值的向量 Avi(1 i r)单位化, 即令ui=AvikAvik=1iAvi Avi= iui,i = 1,2,.,r将标准正交向量组 u1,u2,.,ur 扩充成Rm的标准正交基 u1,.,ur,ur+1,.,um, 并令U =?u1u2urur+1un? =1200.

40、0r00mn23所以有U = AV(5.33)而将A = UVT称为矩阵A的奇异值分解.求m n阶矩阵A奇异值分解的步骤:(1) 求矩阵ATA的特征值i和标准正交的特征向量vi(i = 1,2,.,n).(2) 将特征值按非降序排列后, 求非零奇异值 i=i, 按特征值(奇异值)和特征向量之间对应关系排列成矩阵形式mn和n阶正交矩阵 V .(3) 求出非零奇异值对应的单位向量ui=1iAvi, 并将它们扩充成 Rm空间的一个标准正交基. 按奇异值排列顺序构造相应矩阵U.例例例 27. 求矩阵A =?41114872?的一个奇异值分解.解: (1). 求ATA的特征值和特征向量: 1= 360,

41、 2= 90, 3= 0, 对应特征向量如例26中的v1,v2,v3.(2). 奇异值 1= 610, 2= 310, 奇异值和特征向量矩阵为(注意对应关系) =?6100003100?,V =13122212221(3). 构造矩阵Uu1=110?31?,u2=110?13?,U =110?3113?最后得A = UVT.习题五1. 判断下列各变换是否为线性变换:(a) 线性空间R2上的变换, 满足对x R2有?xy?=?x + kyy?k 为常数.(b) 线性空间V 中, 对x V , (x) = a, 其中 a V 为固定向量.(c) 数域F上的多项式空间Fxn中,对f(x) Fxn,

42、变换 (f(x) = f(x + 1).(d) 数域F上的多项式空间Fxn中,对f(x) Fxn, 变换 (f(x) = f(x0), 其中 x0 F 为固定常数.(e) 数域F上的多项式空间Fxn中,对f(x) Fxn, 变换 (f(x) = (x + a)ddxf(x). 其中a F 为固定常数.(f) Fnn中, X Fnn, (X) = BXC, 其中 B,C Fnn为给定矩阵.(g) C0,2是由区间0,2上所有连续函数构成的线性空间, 对f(t) C0,2, 变换 定义如下: (f(t) =Z20f(x)sin(t x)dx(h) Rn中, x Rn, 变换定义如下:x1x2x3.

43、xn=xnx1x2.xn1242. 线性空间Rn上的变换, 对x Rn, (x) = (x,a)a其中a Rn是给定向量, (,)表示向量内积. 证明: 是线性变换.3. 设Ca,b表示闭区间a,b上所有连续函数构成的线性空间, 对f(x) Ca,b, 变换 (f(x) =Zxaf(t)dt证明: 是线性变换.4. 在三维几何空间, 单位向量i,j,k 相互正交, 设变换i,j,k分别表示 绕i,j,k旋转90.(a) 求证 4i= 4j= 4k= 1(恒等变换).(b) 求证 ij6= ji(c) 求证 2i 2j= 2j 2i.(d) 判断 i j i j= 2i 2j是否成立.5. 数域

44、F上在所有关于x的多项式构成的空间Fx内, f(x) Fx, 变换 (f(x) =ddxf(x), (f(x) = xf (x)求变换 .6. 设线性空间V 上的线性变换,满足 = 1V(V 上恒等变换), 证明: m m= mm1.7. 平面解析几何中的切变换k定义为: 对任意向量a R2, k: a 7 b(如图)xyabxaxbya= yb图: 切变换(习题7)其中k = tan为常数, 求变换对应的矩阵.8. 线性空间R3上的线性变换, 它将三个线性无关的向量x1,x2,x3, 分别变换成y1,y2,y3, 即 (xi) =yi(i = 1,2,3). 向量xi在某组基B下的坐标为 a

45、i, 向量yi在基B下坐标为 bi(i = 1,2,3), 其中a1=235,a2=012,a3=100b1=111,b2=111,b3=212(a) 求线性变换在基B下对应的矩阵.(b) 设新的基B0= BM, 其中M =120012103坐标ai还是向量xi在旧基B 下的坐标, 但坐标bi是向量yi在新基下的坐标. 求在新基B0下变换对应的矩阵.259. 求线性空间R3上的两个线性变换, 它们将向量?100?变成?123?, 把?010?变成?110?.10. 线性空间R22上的变换 1,2定义如下: 对 X R221(X) = AX,2(X) = XA其中 A =?abcd?为给定矩阵.

46、 求变换 1,2在下列基下对应的矩阵.?1000?,?0100?,?0010?,?0001?11. 在R2中, 已知线性变换1在基B1下对应的矩阵为?3543?, 其中B1=?12?,?23?线性变换2在基B2下的对应矩阵?4669?, 其中B2=?31?,?42?(a) 求1的像空间Im(1)和2的核空间Ker(2).(b) 求线性变换1+ 2在基B2下对应的矩阵.12. n 维线性空间 V 上的所有线性变换关于变换的加法和数乘构成线性空间 L(V ), 求空间 L(V ) 的维数, 并给出它的一个基.13. 线性空间 R22上的线性变换 定义如下: A R22, (A) =?1111?A?

47、2001?求变换的秩和dimKer().14. 设, 是线性空间V 上的线性变换, 并且 = , 证明: Im() 和 Ker() 都是 -不变子空间.15. 设S1和S2是线性空间V 上线性变换的不变子空间, 证明: S1+ S2和 S1 S2也是-不变子空间.16. 设是n维线性空间V 上的幂等线性变换, 即2= ,证明: 必定存在V 的子空间W, 使得x W, (x) W.17. 线性空间V = Cn上定义移位变换: : Cn7 Cn,?x1x2xn1xn?T?=?x2x3xnx1?T(a) 求证是线性变换, 并求它对应的矩阵A.(b) 设 k= ej2k/n, 用k构造向量k=?0k1

48、k2kn2kn1k?T其中 ik(i = 0,1,2,.,n 1) 是 k的 i 次幂, 证明: k和向量 k(k = 0,1,2,.,n 1) 是移位变换的特征值和特征向量.(c) 令变换 = 1V, 其中 1V是 Cn上的恒等变换, 求 对应的矩阵.(d) 向量k(k = 0,1,2,.,n 1)是否是变换的特征向量? 如果是, 对应的特征值是什么?26(e) 设向量a =?a0a1an1?T, 其中ai C(i = 0,1,2,.,n 1)为常数, 考虑矩阵?a (a)2(a)n1(a)?试求它的特征值和特征向量.18. 矩阵A,B Rnn, 证明: AB 和BA有相同的特征值.19. 设A R33, 若存在向量x R3满足 A3x = 3Ax 2A2x, 且x,Ax,A2x线性无关.(a) 令P =?xAxA2x?, 求矩阵B 使得A = PBP1.(b) 计算行列式det(A + E).20. 非零n元实向量组x1,x2,.,xr(r 0, A 的奇异值分解为A = UVH,其中 =?r000?mn求矩阵B =?AA?的奇异值分解.2837. 求下列矩阵的奇异值分解:(a)100111(b)?101011?29