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1、2.5 平面向量应用举例,乾安七中 张艳梅,向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。,研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹角等几何问题,充分利用向量这个工具来解决,知识点一 平面几何中的向量方法,例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,猜想：,1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？,2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？,判断：矩形 中，对角线 长度与两条邻边长度之间
2、是否 有关系如下：,发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。,你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,用基底表示,向量运算,翻译几何结果,例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？,猜想： AR=RT=TC,解：
3、设 则,因为 所以,又因为 共线， 所以设,由于 与 共线，所以设,不共线，,故AT=RT=TC,例3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？,分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：,用向量F1 ,F2表示两个提力,它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示， F1，F2的夹角为，如右图所示，只要分清F，G和三者的关系，就得到了问题得数学解释！,知识点二 向量在物理中的应用,解：不妨设 ,由向量的平行四边形法则,力的平衡以及直角三角形的知识,通过上面的式子，知当
4、由0到180逐渐变大时， 由0到90逐渐变大， 的值由大逐渐变小.,可以知道：,即 之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力！,由小逐渐变大.,（1）为何值时， 最小，最小值是多少？,（2） 能等于 吗？为什么？,答：在上式中，当 =0时， 最大， 最小且等于,答：在上式中，当 即=120时，,探究,如图所示，用两条成120的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是_.,120,10N,练一练,例4.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸,已知船的速度 ,水流速度 问行驶航程最短时,所用时间是多少？(精确到0.1min),A,B,答：行驶的
5、航程最短时，所用的时间是3.1min。,练习1.平面上三个力 作用于一点且处于平衡状态, 的夹角为1200,求 的大小。,练习2.已知 两个单位向量,两恒力 作用于同一质点,使之由点A(20,15)移到点B(7,0). 求;(1) 分别对质点所做的功;(2) 的合力 对质点所做的功.,设 对质点所做的功分别为,合力 对质点所做的功,课堂小结,（1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题. （3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.,用基底表示,向量运算,翻译几何结果,1.向量在几何中的应用（三部曲）：,2.向量在物理中的应用：,作业： 第一层：课本113页A组第1，4题； 第二层：添加A组第2题。,临沂一中,谢谢大家!,
