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1、,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,则称,为正项级数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 (比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,是两个正项级数,(常数 k 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,调和
2、级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明级数,发散 .,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3. (比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的敛散性.,例3. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,
3、(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 讨论级数,的敛散性 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 , p 级数,说明 :,但,级数收敛 ;,级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对任意给定的正数 ,定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,证明提示:,即,分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.,数, 且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 证明级数,收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 .,并估计以部分和 Sn 近,机动
4、 目录 上页 下页 返回 结束,二 、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 证明下列级数绝对收敛 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
