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1、第一节 导数的概念,第三节 隐函数和参数式函数求导 相关变化率,第二节 函数的求导法则,第四节 高阶导数,第五节 函数的微分,第二章 导数与微分,要解决的问题:,( 构造性定义 ),如何更有效的求函数（初等函数）的导数,除用定义外，寻求其它求导法则,第二节,二、复合函数求导法则,三、反函数的求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,函数的求导法则,第二章,思路:,( 构造性定义 ),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了 两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,下面
2、分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题 .,此法则可推广到任意有限项的情形.,设, 则,故结论成立.,例如,证.,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),例1.,解:,(3),证: 利用（2）来证明,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),两边求导得,整理即得,例2. 求证,证:,类似可证:,在点 x 可导,二、复合函数求导法则,定理2.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,(链式法则),例4. 求下列导数:,解:
3、(1),(2),(3),说明: 类似可得,例5. 设,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,练习: 设,例6. 设,解:,而,则,(反双曲正弦),的反函数,三、反函数的求导法则,定理3.,y 的某邻域内单调可导,证:,利用复合函数求导法则证明.,两边对x求导数,即,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,例3. 求反三角函数及指数函数的导数.,解: 1) 设,则,类似可求得,利用, 则,2) 设,则,小结:,四、初等函数的求导问题,1.基本导数公式 (P47),1),2),3),4),5),6),7),8),9),10),11),12),13),14),15),16),四、初等函
4、数的求导问题,1.基本导数公式 (P47),1),2),3),4),5),6),7),8),9),10),11),12),13),14),15),16),2.有限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),3.复合函数求导法则,4.初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明: 最基本的公式,其它公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,(1),(2),(3),(4),(5),5、双曲函数与反双曲函数的导数,同理,即,例7.,求,解:,例8.,设,解:,求,例9.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,例10. 设,求,解:,内容小结,求导公式及求导法则 (见 P47),注意: 1),2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .,1.,思考与练习,对吗?,2. 设,其中,在,因,故,正确解法:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,【P62习题3(4)】,3. 求下列函数的导数,解: (1),(2),或,4. 设,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,作业,P 48 18题,练 习 题,练习题答案,备用题 1. 设,解：,2 . 设,解:,求,1.基本导数公式 (P47),1),2),3),4),5),6),7),8),9),10),11),12),13),14),15),16),
