随机变量的数字特征

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1、第四章 随机变量的数字特征第一节 基本概念1、概念网络图 切 比 雪 夫 不 等 式矩方 差期 望一 维 随 机 变 量 协 方 差 矩 阵相 关 系 数协 方 差方 差期 望二 维 随 机 变 量2、重要公式和结论离散型 连续型期望期望就是平均值设 是离散型随机变量，其X分布律为，kpxP ，nk,21kxXE1（要求绝对收敛）设 是连续型随机变量，其X概率密度为 ,xfdE（要求绝对收敛）（1）一维随机变量的数字特征函数的期望 gYknkpxE1 XgYdxfE方差 XD,2E标准差,XkkpXExXD2DdxfXEx2矩 对于正整数 ，称随机变量k的 次幂的数学期望为 的X阶原点矩，记为

2、 ，即kv，iikpxEv。,21对于正整数 ，称随机变量与 差的 次幂的数学XEk期望为 的 阶中心矩，记为，即kkXEi ipx。,21k对于正整数 ，称随机变量k的 次幂的数学期望为 的X阶原点矩，记为 ，即kvkEv = ，dxfk 。,21对于正整数 ，称随机变量k与 差的 次幂的数学XE期望为 的 阶中心矩，记为，即kKXE, dxfxk。,21k切比雪夫不等式设随机变量 具有数学期望 ，方差 ，则对XXE2XD于任意正数 ，有下列切比雪夫不等式2 P切比雪夫不等式给出了在未知 的分布的情况下，对概率X的一种估计，它在理论上有重要意义。X（2）期望的性质（1） ; （2 ）CEXC

3、E（3） ，YXYniinii11（4） ，充分条件： 和 独立；充要条件： 和 不相关。YXY（3）方差的性质（1） ；0CDE（2） ；Xa2XaE（3） ；bbb（4） ED2（5） ，充分条件： 和 独立；YDXYXY充要条件： 和 不相关。，无条件成立。EE2而 ，无条件成立。YYE期望 方差分布10pB,pp1二项分布 nnn泊松分布 P几何分布 pGp121p超几何分布 NMnH, NnM1NnMn（4）常见分布的期望和方 差均匀分布 baU2ba2ab指数分布 e1正态分布 2,N2分布2xnn2分布t 0 期望 niipxXE1njjyY1 dxfXEXyYY函数的期望 XG

4、E,ijijiPyxG,dxyfyx,方差 i ipXExD2j jYYDxfXEx2dyfYy2（5）二维随机变量的数字特征协方差 对于随机变量 与 ，称它们的二阶混合中心矩 为 与 的X1X协方差或相关矩，记为 或 ，即YX,cov。EEXY 1与记号 相对应， 与 的方差 与 也可分别记为DY与 。XY相关系数 对于随机变量 与 ，如果 ， ，则称XY0DY为 与 的相关系数，记作 （有时可简记为 ） 。YXY，当 时，称 与 完全相关：11baP，时负 相 关 ， 当 ，时正 相 关 ， 当完 全 相 关 0a而当 时，称 与 不相关。0XY以下五个命题是等价的： ；XY ；0,cov

5、 ；E ；YDXYD 。协方差矩阵 YX混合矩对于随机变量 与 ，如果有 存在，则称之为 与lkYXEX的 阶混合原点矩，记为 ； 阶混合中心矩记为：1kklv1.lklEu（6）协方差的性质（i） ；XY,cov,c（ii ） ；ab（iii） ；YX,cov,c,c 2121（iv） 。EXYov（7）独立和不相关（i）若随机变量 与 相互独立，则 ；反之不真。XY0XY（ii ）若 ，, 21N则 与 相互独立的充要条件是 和 不相关。例 41：箱内装有 5 个电子元件，其中 2 个是次品，现每次从箱子中随机地取出 1 件进行检验，直到查出全部次品为止，求所需检验次数的数学期望。例 42

6、：将一均匀骰子独立地抛掷 3 次，求出现的点数之和的数学期望。例 43：袋中装有标着 1，2，9 号码的 9 只球，从袋中有放回地取出 4 只球，求所得号码之和 X 的数学期望。例 44：设随机变量 X 的概率密度为 ,)()(| xexfx求 E（X）及 D（X） 。例 45：设随机变量 XN（0， 4） ， YU（0， 4） ，且 X，Y 相互独立，求 E（XY） ，D（X+Y）及 D（2X-3Y） 。例 46：罐中有 5 颗围棋子，其中 2 颗为白子，另 3 颗为黑子，如果有放回地每次取 1 子，共取 3 次，求 3 次中取到的白子次数 X 的数学期望与方差。例 47：在上例中，若将抽样

7、方式改为不放回抽样，则结果又是如何？例 48：“随机变量 X 的数学期望 E(X)= .”的充分条件：(1)X 的密度函数为 f(x)= (0,-(1)已知 ，求常数 ；97)(P(2)求 的数学期望。110（94，8 分） 设由自动线加工的某种零件的内径 X（毫米）服从正态分布N（， 1） ，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润 T（单元：元）与销售零件的内径 X 有如下关系。12,502,1X若若 若问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？11（95，3 分） 设随机变量 X 的概率密度为 其 他若若,01

8、10,)(Xxf则 DX= 。12（96，7 分） 设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获利润 5 万元；若发生两次故障，获利润 0 元；若发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求一周内的利润期望。13（97，3 分） 设 X 是一随机变量 EX= ， DX= 2（ ， 20 是常数） ，则对任意常数 C 必有（A）E（X-C） 2=EX2-C2 （B）E （X-C） 2=E（X- ） 2（C）E（X-C） 2E(X-)2 （D）E（X-C） 2E（X-） 2 14（97，8 分） 设随机变

9、量 Y 服从参数为 =1 的指数分布，随机变量),1(,10kXk若若求： （1） （ X1， X2）的联合概率分布；（2）E（ X1+X2） 。15（98，9 分） 设某种商品每周的需求量 X 是服从区间10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间10，30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500 元；若供大于求则削价处理，每处理 1 单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 1 单位商品获利 300 元。为使商店所获利润期望值不少于 9 280 元，试确定最少进货量。16（98，7 分） 某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80、1

10、0 和 10 件。现从中随机抽取一件，记 )3,21(0,1iiXi其 他 等 品若 抽 到试求：（1） （ X1， X2）的联合分布；（2） （ X1， X2）的相关系数 。17（99，3 分） 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且已知 E（ X-1） （ X-2）=1，则 = 。18（99，3 分） 设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，则 D（ X+Y）= DX+DY 是 X和 Y（A） 不相关的充分条件，但不是必要条件。（B） 独立的必要条件，但不是充分条件。（C） 不相关的充分必要条件。（D） 独立的充分必要条件。19（00，3 分） 设随机变量 X 在区间-1，2上

11、服从均匀分布，随机变量0,1,xY若若若则 DY= .20（00,8 分） 设二维随机变量（ X， Y）的密度函数为 ),(),(2),(21yxyxf其中 都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数),(),(21yx和分别为 和 ，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是 0，方差都是 1。3（1）求随机变量 X 和 Y 的密度函数 ，及 X 和 Y 的相关系数 （可以直)(21yfx和接利用二维正态的性质） 。（2）问 X 和 Y 是否独立？为什么？21（00，8 分） 设 A， B 是二随机事件，随机变量不 出 现若 出 现若,1不 出 现若 出 现若 BY,1试

12、证明随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立。22（01，3 分） 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上或反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于（A） -1 （B）0（C） （D）1 2123（01，3 分） 设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点（0，1） ， （1，0） ， （1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量 U=X+Y 的方差。24（02，3 分） 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为概率 YX-1 0 1010.070.080.180.320.150.20则 X 和 Y 的关系数 = 。25（02，8

13、分） 假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（ EX）为 5 小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F(y)。26（03，4 分） 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则（A） X 与 Y 一定独立。 （B） （ X， Y）服从二维正态分布。（C） X 与 Y 未必独立。 （D） X+Y 服从一维正态分布。27（03，4 分） 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.5, EX=EY=0, EX2=EY2=2，则E（ X+Y） 2= 。28（03，

14、13 分） 对于任意二事件 A 和 B，0 P（ A）1，0 P（ B）1，称作事件 A 和 B 的相关系数。（1） 证明事件 A 和 B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；（2） 利用随机变量相关系数的基本性质，证明| |1。29（04，4 分） 设随机变量 服从参数为 的指数分布, 则 .X30（04，4 分） 设随机变量 独立同分布，且方nX,21 )1(差 令随机变量02， 则niiXY1(A) (B) 21)(nYD21)(nYXD(C) (D) XCov1, 21,Cov31（04，13 分） 设 , 为两个随机事件,且 , , AB41)(AP31)|(AB, 令2)|(BAP不AX01.0,1不BY求() 二维随机变量 的概率分布;),(Y() 与 的相关系数 ; XX() 的概率分布. 2Z32 （05，13 分）设 为独立同分布的随机变量，且均服从2,21n。1,0N)()( 记 .,21,1niXYnXiii 求：（I） 的方