《随机变量及数字特征》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量及数字特征（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习 题 35设 ， ( 为正整数) ，则 解答 由题意有 (奇函数)所以 故 6设随机变量 在区间 上服从均匀分布，随机变量，则方差解答 由题意可得 则 ，所以 7若随机变量 相互独立，且服从相同的两点分布，则服从分布， ， .解答 设 为事件发生的概率，则由题意可得 所以 一选择题1设随机变量 与 独立同分布，记 ，则随机变量 与 必然不独立 独立相关系数为零 相关系数为零解答 所以 与 互不相关，故选择 ，但 与 互不相关却不能推断出 与 相互独立.2设，则 不存在解答 由于为非收敛数列，所以 不存在 ,故应该选 .4已知 与 的联合分布如下表所示，则有与 不独立 与 独立与 不相关 与
2、彼此独立且相关解答 与 的边缘分布律分别为则可计算得 ，所以 与 相关，又所以 与 不独立，故应该选 .9随机变量 与 不相关的充分必要条件为解答 不相关的充要条件是 ，则 即 ，于是 ，所以选 .10人的体重 ， ， ， 个人的平均体重为 ，则下列结论正确的是 解答 由题意可知 ，则所以应该选 .三证明题1设 是随机变量， 是常数，证明： ，其中 .证明： 2设 和 为相互独立的随机变量，其分布密度为，证明：他们的卷积，即随机变量 的分布密度也服从正态分布.证明：由题意可知 和 服从 分布，则令，得即 也服从 分布.3设 相互独立，证明： 证明：因为 相互独立，所以于是又 从而 4设 和 为
3、随机变量的任意两个可取值， 分别为其数学期望与方差，则证明： 四计算题1设 的分布律为，求 .解答 2设随机变量 具有概率密度为，求 .解答 3设随机变量 和 的联合分布为求解答 的概率分布为则 4一汽车沿一街道行使需要通过三个设有红绿信号灯路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 ： 的概率分布； 解答 的取值应该为 以 表示事件“汽车在第 个路口首次遇到红灯” ，则 ，且 相互独立，则 5设 的分布密度求 .解答 6设 服从区域 上的均匀分布，求相关系数 .解答 因为 的面积为，故 和 的联合密度
4、函数为于是即则 又 则 7在长为 的线段上任选两点，求两点间距离的数学期望与方差.解答 设 分别表示两点的坐标， 服从区域 上的均匀分布，其联合密度函数为令 ，则 的分布密度为当 时， 当 时， 于是当 时，区域 包含整个正方形区域，则 即 则 密度函数为 所以 8设 为服从正态分布 的随机变量，且 相互独立，求 .解答 9设随机变量 的分布函数为求 .解答 10设 的联合密度为求 .解答 所以 同理可得 又 故 11假设一部机器在一年内发生故障的概率为 ，机器发生故障时全天停止工作，若一周 个工作日里无故障，可获利润 万元，发生一次故障仍可获利润 万元；发生二次故障所获利润 万元；发生三次或三次以上故障就要亏损 万元，求一周内期望利润是多少？解答 以 表示一周内机器发生故障天数，且 ，则以 表示所获利润，则(万元)12设二维随机变量 的密度函数为其中 和 都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为和.他们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 . 求随机变量 和 的密度函数 和 ，及 和 的相关系数； 问 与 是否独立？为什么？解答 二维正态密度函数两个边缘密度都是正态密度函数，因此 和 两个边缘密度为标准正态密度函数，即同理可得 由于 ， ，则 ， 又 所以相关系数 由题意可设由于 ,所以 与 不独立.
