随机变量及其分布列

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1、随机变量及其分布列1、 事件的独立性与条件概率1. 求相互独立事件的概率（1 ） 事件 A,B 独立 ，（AB 可记为 ）)()(BPABA（2 ） 若事件 相互独立，那么这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概nA,21率的积，即 )()(21nP2. 事件 A,B 相互独立，则 也相互独立。，与，与，与 BA注意：互斥事件与独立事件的区别：两事件互斥是指一个试验中的两个结果在一次试验中不可能同时发生，即；两事件独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率无影响。3. 相互独立事件概率的求法：（1 ） 要搞清楚事件间的关系（是否彼此互斥，是否相互独立，是否对立），正确区分“互斥事件”与

2、“对立事件”。当且仅当事件 A 和事件 B 相互独立时，才有。)()(BPA（2 ） A,B 中至少有一个发生： 若 A,B 互斥： )()(BPA若 A,B 相互独立（不互斥），则概率的求法：方法一： ；)()()(BAP方法二： 。)(1BPAP例 1. 甲乙两人独立破译一个密码,他们能破译密码的概率分别为 和 ，求314（1）他们都能破译出密码的概率；（2）他们都不能破译出密码的概率；（3）恰有一个人破译出密码的概率；（4）至少有一个人破译出密码的概率；（5）至多有一个人破译出密码的概率。例 2. （2013.陕西，19,12）在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台

3、演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名选手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手（1）求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; （2）X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望例 3.（2012 山东，19,12）现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，43命中得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 ，每

4、命中一次得 232分，没有命中得 0 分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。（1）求该射手恰好命中一次得的概率；（2）求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX。例 4.（2014.陕西，19,12 中）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求的分布列；（2）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率.例 5（2014. 大纲全国， 20,12 中）设每个工作日甲、乙

5、、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6，0.5,0.5,0.4 各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 X 的数学期望.2.条件概率定义：设 A,B 是两个事件，且，称为在事件 B 发生时事件 A 发生的条件概率。性质：；如果 B 和 C 是两个互斥事件，则；若 A,B 相互独立，则。例 6.甲、乙两地都位于长江下游，根据多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为 20%和 18%，两地同时下雨的比例为 12%，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天

6、的概率是多少？例 7. 某工厂生产了一批产品共有 20 件，其中 5 件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽取 2 件求：（1）第一次抽到次品的概率； （2）第一次和第二次都抽到次品的概率； （3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率2、独立重复试验与二项分布、正态分布1.独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一次试验，在这种试验中每次试验只有两种结果，即或发生，或不发生，且任何一次试验中时间发生的概率都是一样的。2.二项分布在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复

7、试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作),210()1()( nkpCkXPnkn。,pB方法:判断某随机变量是否服从二项分布的方法（1）在每一次实验中，事件发生的概率相同；（2）每次试验中的事件是相互独立；（3）在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生。例 8.（2015 湖南衡阳一模）某类种子每粒发芽的概率是 0.9，现播种该种子 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望（ ）A.100 B.200 C.300 D.400例 9.甲 、 乙 两 人 各 射 击 一 次 ， 击 中

8、目 标 的 概 率 分 别 是 和 ， 假 设 两 人 射 击 是 否324击 中 目 标 相 互 之 间 没 有 影 响 ； 每 人 各 次 射 击 是 否 击 中 目 标 ， 相 互 之 间 也 没 有 影 响 （ 1） 求 甲 射 击 3 次 ， 至 少 1 次 未 击 中 目 标 的 概 率 ；（ 2） 假 设 某 人 连 续 2 次 未 击 中 目 标 ， 则 停 止 射 击 ， 问 ： 乙 恰 好 射 击 4 次 后 ， 被中 止 射 击 的 概 率 是 多 少 ？（ 3） 设 甲 连 续 射 击 3 次 ， 用 表 示 甲 击 中 目 标 时 射 击 的 次 数 ， 求 的 数

9、学 期 望 （ 结 果 可 以 用 分 数 表 示 ）E2.正态分布及其应用（1）正态曲线的定义函数 ，其中实数 为参数，称 的图像为),(,21)(2)(, xexu 和 )(,x正态分布密度曲线，简称正态曲线（ 是正态分布的期望， 是正态分布的标准差）。（2）正态曲线的特点曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，关于直线 对称，且曲线在 处达到峰值 ；x21曲线与 x 轴之间的面积为 1；当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移；当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。（3）

10、正态分布定义及表示如果对于任何实数 a,b，随机变量 X 满足 ，则称随机变量 XdxbaPa)()(,服从正态分布，记作 。),(2NX正态分布的三个常用数据;682.0)(P;954.2X.70)3(P ； 。(1)aXPa)()(aXPa例 10.设两个正态分布 和 的密度函数图像如图所0)121，N022，N示，则（ ）A. 2121,B. 2121,C. 2121,D. 2121,例 11.某班有 50 名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在 110 分以上的人数为_.练习：已知随机变量 X 服从正态分布 N(3，1)，且 ，则 （ 682.0)42(X

11、P)4(XP）A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.15853、离散型随机变量的分布列、期望与方差1.离散型随机变量的分布列（1）定义：设离散型随机变量 X 可能取得值为 ，X 取每一个 值的概率nx,21 ix，则称表为随机变量 X 的概率分布。iipxXP)(X1x2 ix nxP1p2 ip np（2）性质： ),21(0nipi 1ni2.两点分布如果随机变量 X 的分布列为如下，其中 ，则称 X 服从参数为 的两点分布。10pp0 1Pp13.超几何分布在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件 发生的概kX率为 ，mkCk

12、XPnN-M,210,)( 其中 ，且 ，此时称随机变量 X 服从超几何分m,i *,Nn布。4.期望与方差（1）称 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反nipxpxXE21)(映了离散型随机变量取值的平均水平。（2）称 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值ni iiXExD12)()(的平均离散程度，其算术平方根 为 X 的标准差，记作 .)(D)(X（3）性质： ，（ 为常数）；bXaEb)()(a, .2D（4）若随机变量 X 服从两点分布，则 ;)1(),)(pXDp（5）若随机变量 ,则 .)(pnB,nE例 12.某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在

13、这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）（1）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望例 13.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各3231局比赛结果相互独立.（1）求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率；（2）记为比赛决出胜负时的总局

14、数，求 X 的分布列和均值（数学期望）.例 14.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得-200 分）.设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立.21（1）设每盘游戏获得的分数为 X，求的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.例 15

15、.甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的 10 道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的 5 道题规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试，53答对一题加 10 分，答错一题（不答视为答错）减 5 分，得分最低为 0 分，至少得 15 分才能入选（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率例 16. 盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球规定取出1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得-1 分现从盒内任取 3 个球（1）求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率；（2）求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率；（3）设 为取出的 3 个球中白色球的个数，求 的分布列和数学期望例 17. 考生从 6 道选择题中一次性随机抽取 3 题,按照题目要求独立回答全部问题,规定,至少正确回答其中 2 题,便可通过,已知 6 道选择题中,考生甲有 4 道题能正确回答,2 道题不能回答,考生乙每题正确回答的概率都为 ,且每题正确回答与否互不影响.（1）写出甲2乙两考生正确回答数的分布列,并求期望,（2）试用统计知识分析比较两考生的能力。例 18. 每年 5 月 17 日为国际电信日，某市电信公司每