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1、, 序不4 数学研究中发现一 占不仅形式优美而且具有重要应用价售g不等式人们称它们为经典不等式柯西不等式与排序不等式就属于这样的不等式通 ne不等式的数学意义山几何背景、证明方法及其应用感受数学 的 外提高数学素质. |咯 ” 本 2 = 3 站 吕 = 时 -让二 人 人AR 本探究 o2+22ab(c.2为实数昕我们非常熟悉的不等式它反映了两个实数的了六和与乘积的大小关系现在考虑乘积(c2+咏)(+d2)(Coc.o为实数),它涉及到四个实数 ,并且形式上也与平方禾关.你能类比o2上52206的推导进程,研究忆.关于它的不等关系员 这个乘积,得(ee 十 2 Je 雪避下 本人=(ac+b
2、o7 +(aog-pc)，2+D2Je2+o)= (ce+odp+(od-pc， 而(cg-5c太0.,轩此(Ce +12Jfs +2) (cc+paJ 中台式中每个括号 内都是两页式,通过后面的学习会进一步认识二维鸡的含义式反映 六个实数的特定数量关系不仅排列形式上规律明显具有简洁、对称的美感而且在数学和物理中有重要f 用它是柯西不等式(Caucjy imegua1io)的最简形式即二维形式的柯西不等式从上面的探究过程可!殿现当且仅当zq 一pc =0时式 的等号成立于是我们有 定理1 人己维形式的柯西不等式)若wb.c,d都是实数 ， 则人z +22fc 9记 (ac+pbo)当且仅当aa
3、 = bc时,等号成立.思考 你能简明地写出定理的证明吗?根据二维形式的柯西不等式, 容易得 品到 十玉 昌尼 十df =Vvl: +82Jez 二同V(c+pd 居ac+pdl|， Va2+B2 .ycz+ad2 =a2+IDPAc2+|aP习allcl+l2l2acl+l2dl.所以,对于任何实数“必”2古以下不等式成立:Vaz+12 .vcz+d2 培ac+bd|，Va2+12 .ycz+吧涪acl+|ad|. 这也是两个非常有用述不等式 的等号何证)等式请同学考虑上时或立?对一个代数结果进行最省单的诠释往往要借助直观的几何背景下面看一看柯西不等民9几何意义如图3.1 -1,设在平面直角
4、坐 pa标系xOy中有向量 wx = (c,四)5=(c.d),c与5之间的夹角和0202根据向量数量积内积移定义,我位有w.8= allplcosg， 图31-1所以|w:8二cl8lcos6|.因为| cosgI1所以|x:8加cl 四:面(二维交量的坐标表示不等za ,得 |ac+pql va +因Vc2+d 两边平方得(cc+paj 人ez +2)人cz +d2). 中 这是二维形式的柯西不 等式; 二维形式的柯西不等式四是 向量形式的不等式的坐标表示 如果向量w和中有零向县,则cd一加= 0 ,以上不等式取等号 如果向量w和都不是零向 量,则当且仅当| cos 2|=二即向量和AZ此可知，四元与二维向量相对应所以称之为二维形式的柯西不等共线时,以上不等式取等号 这时存在非零实数,使wa=18即(wp)=klc.2)故ad-pe=kcd-icd=0. 从上面的分析可知不等式与不等式O 有相同的意义,所以我们把不等式29叫做柯西不等式的向量形式综上所述 得定理2? ”(柯西不等式的向量形动设w,8是两个向量则lx:8辐cl 281,当且仅当8是零向量或存在实妆f 使w =15时 等号成立探究 试从不等式推导不等式 ,再进行反方向的推导从数形结合的角度体会两者的等价关系
