如何学习,一、 曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,曲线、曲面积分,第九章,,第 九 章,,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区 间 平面域 空间域,,,,,,,曲线积分,曲线弧,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,,一、曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 选择积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,,,,解答提示:,计算,其中L为圆周,提示: 利用极坐标 ,,原式 =,说明: 若用参数方程计算,,,,,则,1 (1),1(3). 计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,,,1(6). 计算,其中 由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .,2. 基本技巧,例1. 计算,其中 为曲线,解: 利用轮换对称性 , 有,利用重心公式知,( 的重心在原点),例2. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心、,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,,,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:,(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,,,思考题解答:,(1),(2),,,,证:把,例3. 设在上半平面,内函数,具有,连续偏导数, 且对任意 t 0 都有,证明,对D内任意分段光滑的闭曲线L, 都有,两边对t求导, 得:,则有,因此结论成立.,(2006考研),,计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,练习题: P244 题 3(5) ; P245 题 6; 11.,3(5).,,用格林公式:,P245 6 .,设在右半平面 x 0 内, 力,构成力场,其中k 为常数,,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,,P245 11.,求力,沿有向闭曲线 所作的,其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从 z 轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,,角形的整个边界,,,功,,,设三角形区域为 , 方向向上,,则,,,方法2,,利用,公式,,斯托克斯公式,,例4.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算,解: 记 为平面,上 L 所围部分的上侧,,D为 在 xOy 面上的投影.,由斯托克斯公式,公式,,,,D 的形心,,二、曲面积分的计算法,1. 基本方法,曲面积分,第一类( 对面积 ),第二类( 对坐标 ),二重积分,(1) 选择积分变量 — 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域,— 把曲面积分域投影到相关坐标面,思 考 题,1) 二重积分是哪一类积分?,答: 第一类曲面积分的特例.,2) 设曲面,问下列等式是否成立?,不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关,2. 基本技巧,(1) 利用对称性及重心公式简化计算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3) 两类曲面积分的转化,,,练习:,P244 题4(3),其中 为半球面,的上侧.,且取下侧 ,,原式 =,P244 题4(2) , P245 题 10 同样可利用高斯公式计算.,,,,记半球域为 ,,高斯公式有,计算,利用,例5.,证明: 设,(常向量),则,单位外法向向量,,试证,,,,,,例6. 计算曲面积分,其中,,解:,思考: 本题 改为椭球面,时, 应如何,计算 ?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,,然后用高斯公式 .,例7. 设 是曲面,解: 取足够小的正数 , 作曲面,取下侧,使其包在 内,,为 xOy 平面上夹于,之间的部分, 且取下侧 ,,取上侧, 计算,则,第二项添加辅助面, 再用高斯公式,,注意曲面的方向 !,得,例8. 计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,备用题 1. 已知平面区域,L为D 的边界, 试证,证: (1) 根据格林公式,①,②,所以相等,,从而,左端相等, 即(1)成立.,(2003 考研),因①、②两式右端积分具有轮换对称性,,(2) 由①式,由轮换对称性,,,(1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是,2. 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机,能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像,,若地球半径为R , 卫星距地球表面高度为 H =0.25 R ,,卫星绕地球一周的时间为 T , 试求,(2) 在,,,解: 如图建立坐标系.,的时间内 , 卫星监视的地球,表面积是多少 ?,多少 ?,设卫星绕 y 轴旋转,(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为,(2) 在,时间内监视的地球表面积为,点击图片任意处 播放开始或暂停,注意盲区与重复部分,其中S0 为盲区面积,(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为,(2) 在,其中盲区面积,时间内监视的地球表面积为,,斯托克斯( Stokes ) 公式,,,例3. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,,,,例4. 计算曲线积分,其中 为螺旋,的一段弧.,解:,线,例5. 计算,其中 为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,例3. 计算,其中L为,(1) 抛物线,(2) 抛物线,(3) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,,,,,,,例4. 设在力场,作用下, 质点由,沿 移动到,解: (1),(2) 的参数方程为,,试求力场对质点所作的功.,其中 为,,,例5. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解: 取 的参数方程,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,已知L切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,,,,类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,令,,,,,,二者夹角为 ,例6. 设,曲线段 L 的长度为s, 证明,续,,证:,设,,说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,,例7.,将积分,化为对弧长的积,分,,解：,,,其中L 沿上半圆周,,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,,,,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,,或,一、 格林公式,,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,,在D 内,具有一阶连续偏导数,,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,,即,说明:,根据定理2 , 若在某区域D内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,,,,,定理2,4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,,则对D内任一分段光滑曲,定理2,,注: 此式称为曲线积分的基本公式(P211定理4).,,,它类似于微积分基本公式:,,例4. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,例5. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,,,例6. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,,,或,,,则对面积的曲面积分存在.,• 对积分域的可加性.,则有,• 线性性质.,在光滑曲面 上连续,,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,• 积分的存在性.,若 是分片光滑的,,例如分成两,片光滑曲面,,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,,存在, 且有,,,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,,,例2. 计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,,与,原式 =,分别表示 在平面,例3.,设,计算,解: 锥面,,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,,它在 xOy 面上的,投影域为,则,思考: 若例3 中被积函数改为,,计算结果如何 ?,例5. 计算,解: 取球面坐标系, 则,有向曲面及曲面元素的投影,• 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,,(单侧曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧,• 设 为有向曲面,,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,,表示 :,其面元,在 xOy 面上的投影记为,的面积为,则规定,,类似可规定,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量 .,,,,,分析: 若 是面积为S 的平面,,则流量,法向量:,流速为常向量:,,,,,,,,对一般的有向曲面 ,,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,,,,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,,进行分析可得,,,,, 则,设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,,分,,记作,P, Q, R 叫做被积函数;, 叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,,若对 的任,2. 定义：,引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面 上对 y, z 的曲面积分;,若记 正侧的单位法向量为,令,,,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,3. 性质,(1) 若,之间无公共内点, 则,(2) 用 ¯ 表示 的反向曲面, 则,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理: 设光滑曲面,取上侧,,是 上的连续函数, 则,证:,∵ 取上侧,,,• 若,则有,• 若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧, 则,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,,令,,,向量形式,,,例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为,解:,,,例5. 设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,,,例6. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有,∴ 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧.,,∴ 原式 =,,,,,,原式 =,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,,函数。