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1、 第五课时利用导数研究函数零点专题【选题明细表】 知识点、方法题号通过最值(极值)判断零点个数2,3,7,8数形结合法研究零点问题1,5构造函数法研究零点问题4,61.已知函数f(x)=x3-3ax-1,a0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围.解:(1)f(x)=3x2-3a=3(x2-a),当a0,所以当a0时,由f(x)0,解得x.由f(x)0,解得-x0时,f(x)的单调递增区间为(-,-),(,+),单调递减区间为(-,).(2)因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f(-1)=3(-1)2
2、-3a=0,所以a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3,由f(x)=0,解得x1=-1,x2=1.由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.因为直线y=m与函数y=f(x)的图像有三个不同的交点,结合如图所示f(x)的图像可知,实数m的取值范围是(-3,1).2.已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x.(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a)处与直线y=b相切,求a与b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.解:(1)由f(x)=x2+xsin x+cos
3、x,得f(x)=x(2+cos x).因为y=f(x)在点(a,f(a)处与直线y=b相切.所以f(a)=a(2+cos a)=0且b=f(a),则a=0,b=f(0)=1.(2)令f(x)=0,得x=0.所以当x0时,f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增,当x0时,f(x)1时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点.综上可知,b的取值范围是(1,+).3.(2016长春模拟)设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+)上是单调减函数,且g(x)在(1,+)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+)上是单调增函
4、数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解:(1)f(x)=-a0在(1,+)上恒成立,则a,x(1,+),故a1;g(x)=ex-a,若1ae,则g(x)=ex-a0在(1,+)上恒成立,此时,g(x)=ex-ax在(1,+)上是单调增函数,无最小值,不合题意;若ae,则g(x)=ex-ax在(1,ln a)上是单调减函数,在(ln a,+)上是单调增函数,g(x)min=g(ln a),满足题意.故a的取值范围为(e,+).(2)g(x)=ex-a0在(-1,+)上恒成立,则aex,故a,f(x)=-a=(x0).若00,得增区间为(0,);令f(x)0得减区间为(,+).当x0时,f
5、(x)-;当x+时,f(x)-;当x=时,f()=-ln a-10,当且仅当a=时取等号.故当a=时,f(x)有1个零点;当0a时,f(x)有2个零点.若a=0时,则f(x)=ln x,易得f(x)有1个零点.若a0在(0,+)上恒成立,即f(x)=ln x-ax在(0,+)上是单调增函数,当x0时,f(x)-;当x+时,f(x)+.此时,f(x)有1个零点.综上所述,当a=或a0时,f(x)有1个零点;当0a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.(1)解:由已知,函数f(x)
6、的定义域为(0,+),g(x)=f(x)=2(x-1-ln x-a),所以g(x)=2-=.当x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递增.(2)证明:由f(x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.令(x)=-2xln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2xln x,则(1)=10,(e)=2(2-e)0.于是,存在x0(1,e),使得(x0)=0.令a0=x0-1-ln x0=u(x0),其中u(x)=x-1-ln x(x1).由u(x)=1-0知,函数u(x)在区间(1,+)上单调递增,故0=u(1)a0=u(x0)u(
7、e)=e-21,即a0(0,1).当a=a0时,有f(x0)=0,f(x0)=(x0)=0.再由(1)知,f(x)在区间(1,+)上单调递增,当x(1,x0)时,f(x)f(x0)=0;当x(x0,+)时,f(x)0,从而f(x)f(x0)=0;又当x(0,1时,f(x)=(x-a0)2-2xln x0.故x(0,+)时,f(x)0.综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.5.已知f(x)=x2+3x+1,g(x)=+x.(1)a=2时,求y=f(x)和y=g(x)的公共点个数;(2)a为何值时,y=f(x)和y=g(x)的公共点个数恰为两个
8、.解:(1)a=2时,由得x2+3x+1=+x,整理得x3+x2-x-2=0(x1).令y=x3+x2-x-2,求导得y=3x2+2x-1,令y=0,得x1=-1,x2=,故得极值分别在x=-1和x=处取得,且极大值、极小值都是负值.所以y=x3+x2-x-2=0的解只有一个,即y=f(x)与y=g(x)的公共点只有一个,(2)由得x2+3x+1=+x,整理得a=x3+x2-x(x1),令h(x)=x3+x2-x,联立h(x)=0可以得到极值点分别是x=-1和x=,画出草图,如图所示,h(-1)=1,h()=-,当a=h(-1)=1时,y=a与y=h(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y
9、=h(x)曲线上),故a=-时恰有两个公共点.6.(2015高考山东卷)设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求a的值;(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;(3)设函数m(x)=min f(x),g(x)(min p,q表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.解:(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为2,所以f(1)=2,又f(x)=ln x+1,所以a=1.(2)k=1时,方程f(x)=g(
10、x)在(1,2)内存在唯一的根.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-,当x(0,1时,h(x)1-1=0,所以存在x0(1,2),使得h(x0)=0.因为h(x)=ln x+1+,所以当x(1,2)时,h(x)1-0,当x(2,+)时,h(x)0,所以当x(1,+)时,h(x)单调递增.所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0,且x(0,x0)时,f(x)g(x),所以m(x)=当x(0,x0)时,若x(0,1,m(x)0;若x(1,x0),由m(x)=ln x+10.可知00,m(
11、x)单调递增;x(2,+)时,m(x)0,m(x)单调递减.可知m(x)m(2)=,且m(x0)0).(1)若a=1时,函数f(x)有三个互不相同的零点,求实数m的取值范围;(2)若函数f(x)在-1,1内没有极值点,求a的取值范围;(3)若对任意的a3,6,不等式f(x)1在x-2,2上恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=x3+x2-x+m,因为f(x)有三个互不相同的零点,所以f(x)=x3+x2-x+m=0,即-x3-x2+x=m有三个互不相同的实数根.令g(x)=-x3-x2+x,则g(x)=-(3x-1)(x+1).令g(x)0,解得-1x;令g(x)0,解得
12、x.所以g(x)在(-,-1)和(,+)上为减函数,在(-1,)上为增函数.所以g(x)极小值=g(-1)=-1,g(x)极大值=g()=.所以m的取值范围是(-1,).(2)因为f(x)=x3+ax2-a2x+m(a0),所以f(x)=3x2+2ax-a2.因为f(x)在x-1,1内没有极值点,所以方程f(x)=3x2+2ax-a2=0在区间-1,1上没有实数根,由=4a2-12(-a2)=16a20,二次函数对称轴x=-0,当f(x)=0时,即(3x-a)(x+a)=0,解得x=-a或x=,所以或-1(a3.所以a的取值范围是(3,+).(3)令f(x)=3x2+2ax-a2=0,解得x=-a或x=,且a3,6时,1,2,-a-6,-3.又因为x-2,2,所以f(x)在-2,)上小于0,f(x)是减函数;f(x)在(,2上大于0,f(x)是增函数;所以f(x)max=maxf(-2),f(2),而f(2)-f(-2)=16-4a20.(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.(2
