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1、第三章,1 1.2,理解教材新知,把握热点考向,应用创新演练,考点一,考点二,知识点一,知识点二,考点三,12 函数的极值,1在你们学习小组10人中，李阳最高，张红最矮 问题1：李阳最高说明了什么？ 提示：李阳是这10人中最高的 问题2：在你们班中，李阳一定还最高吗？ 提示：不一定,2已知yf(x)，yg(x)的图像,问题1：观察yf(x)的图像，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？ 提示：f(x0)在(a，b)内最大,问题2：函数值f(x0)在定义域内还是最大吗？ 提示：不一定 问题3：对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？ 提示：f(x)在(
2、a，x0)上增加，导数大于零，在(x0，b)上减少，导数小于零 问题4：函数yg(x)在(a，b)上，结论如何？ 提示：与yf(x)在(a，b)上结论相反,1函数极值的概念 (1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在 的函数值都 x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值 (2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在 的函数值都 x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值 (3)极值：极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 ,任何一点,不大于,任何一点,不小于
3、,极值,极值点,2函数的单调性与极值 (1)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是 的，在区间(x0，b)上是 的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值 (2)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是 的，在区间(x0，b)上是 的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.,增加,减少,减少,增加,求函数极值点的步骤 (1)求出导数 ； (2)解方程 ； (3)对于方程f(x)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定 若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为 若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为 若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0
4、 极值点,f(x),f(x)0,极值点,极大值点,极小值点,不是,(1)按定义，极值点x0是区间a，b内部的点，不会是端点a，b. (2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立即可 (3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一 (4)在区间上单调的函数没有极值,思路点拨 首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值,精解详析 (1)函数f(x)x33x29x5的定义域为R，且f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,一点通 求函数的极值必须严格按照求函数极值的步骤进行
5、，其关键是列表检查导数值为0的点的左、右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点；否则，不是极值点,解：yx24.令y0，解得x12，x22. 当x变化时，y，y的变化情况如下表：,2(2012陕西高考)设函数f(x)xex，则 ( ) Ax1为f(x)的极大值点 Bx1为f(x)的极小值点 Cx1为f(x)的极大值点 Dx1为f(x)的极小值点 解析：求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点 答案：D,例2 已知函数f(x)ax3bx2，当x1时，有极大值3. (1)求a，b的值；(2)求函数yf(x)的极小值 思路点拨
6、利用函数在x1处取得极大值3建立关于a，b的方程组即可求解,一点通 解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题,4已知函数f(x)x3ax23x9在x3处取得极值， 则a ( ) A2 B3 C4 D5,解析：f(x)3x22ax3，由题意得f(3)0，解得a5. 答案：D,5已知函数y3xx3m的极大值为10，则m的值为 _ . 解析：y33x23(1x)(1x)，令y0得x11，x21，经判断知x1是极大值点， 故f(1)2m10，m8. 答案：8,例3 设函数f(x)x33x1. (1)求函数f(x)
7、的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)a有三个不同实根，求实数a的取值范围 思路点拨 第(1)问利用导数求单调区间和极值，第(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数yf(x)与ya的图像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解,精解详析 (1)f(x)3x23， 令f(x)0， 解得x11，x21， 当x1时，f(x)0， 当1x1时，f(x)0. f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)； f(x)的单调递减区间为(1,1) 当x1时，f(x)有极大值3； 当x1时，f(x)有极小值1.,(2)由(1)得函数yf(x)的图像大致形 状如右图所示， 当1a3时， 直线ya与yf
8、(x)的图像有三个不同交点， 即方程f(x)a有三个不同的实根时，a的取值范围为 (1,3),一点通 极值问题的综合应用主要是利用函数的单调性和极值确定函数图像的大致形状和位置题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键,7函数f(x)x33x2的零点个数为_,解析：f(x)3x233(x1)(x1)， 可知f(x)在(，1)及(1，)上是 增加的，在(1,1)上是减少的，故f(x) 的极大值为f(1)4，极小值为f(1)0，其大致图像如图所示，零点个数为2. 答案：2,8若f(
9、x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值， 求a的取值范围 解：f(x)3x26ax3(a2)， 若f(x)有极大值和极小值，则f(x)0有两个相异实根， 36a2433(a2)0，解得a2或a1， a的取值范围是(，1)(2，),(1)对于可导函数来说，yf(x)在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点例如，函数yx3在x0处，f(0)0，但x0不是函数的极值点 (2)可导函数f(x)在x0取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧，f(x)的符号不同 (3)若函数yf(x)在(a，b)内有极值，则yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即单调函数没有极值,点击此图片进入“应用创新演练”,
