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1、72,偏导数与全微分,一偏导数, 一元函数y=f(x)只存在y随x变化的变化率， 即点x沿x轴移动的一个方式下的变化率（变化快慢）,1. 一元函数变化率与多元函数变化率, 二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率随 y变化的变化率随xy同时变化的变化率。,即点M(x,y)在域D内可沿x轴沿y轴沿其它直线 方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元 函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化， 比一元函数时复杂得多。,o,x,y,z,M,P,D, 一元函数变化率问题是研究二元函数变 化率问题的基础,对于曲面z=f(x,y)，当我们用过点(0,y0 ,0)而平 行于xoz面(垂直于y轴)的平
2、面去截时，截口是一条曲 线 z=f(x,y0),它在xoz面上的投影是z对于x的一元函 数的图象，研究这条曲线的变化率就是研究二元函数 z=f(x,y)当y=y0时沿x轴方向的变化率。,M,M,P0,x0,D,S,X,y,z,z =f(x,y0),o,y0, 二元函数z=f(x,y)当y不变(x不变)时， 对于x(对于y)的变化率，就是二元函数 的偏导数。,一般地，当y不变时，z=f(x,y)是x的一元函数， 研究这个一元函数的变化率 ， 就是研究二元函数 z=f(x,y）沿x轴方向的变化率。 对于x不变时，情形类似。,2偏导数定义,设二元函数z=f(x,y)在(P0(x0,y0)有定义， 当
3、y=y0不变时，x在x0取得增量x，相应地函数有 增量f(x0+x,y0)-f(x0,y0)， 若 存在，则称A为z=f(x,y)在点(x0,y0)处对于x的偏导数 记为 如,类似地，z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处对y的偏导数定义为,记为,注记：, 偏导数fx(x0,y0 ),fy(x0,y0)分别描述z=f(x,y)在点 (x0,y0)处沿 x方向，y方向的变化率； z=f(x,y)在点 (x0,y0)处沿其它方向的变化率称为方向导数，将在后面讨论； 二元以上的多元函数的偏导数，类似二元函数情形。,3偏导函数概念, 偏导函数：当z=f(x,y)在域内每一点(x,y)处对 x（ y
4、）的偏导数都存在，则它就是x,y的函数，称为偏导函数。 记号： z=f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是偏导函数在 (x0,y0)处的函数值。 在不至混淆时常称偏导函数偏导数。,或,或,4偏导数的计算法,对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自 变量视为常数，按一元函数求导法则计算：,求 时，只要把y暂时看作常量而对x求数；,求 时，只要把x暂时看作常量而对y求导数。, 求 在点（1，2）处的偏导数,解：,例1,解：, 求 的偏导数,解：, 设 ，求证,解：, 求 的偏导数(三元函数),5. 偏导数的几何意义,切线M0Tx对x轴的斜率 切线M0Ty对y轴的斜率,o,x,y,z,M0,P0,x0
5、,y0,Ty,Tx,z=f(x0,y),z=f(x,y0),例2 求二元函数的偏导数, ,解（1）：,解（2）：当 时,当 时,6. 偏导数的经济意义,边际需求 偏弹性,7多元函数可导与连续的关系,z=f(P)在P0点各偏导数存在 z=f(P)在P0点连续 例如：函数 在点(0，0)不连续，但偏导数存在,M0,P0,o,x,y,z,二高阶偏导数,二阶偏导数： 若z=f(x,y)的偏导数 的偏导数也存在，则称其是函数z=f(x,y)的 二阶偏导数。,z=f(x,y)的二阶偏导数,记号：,解：,（1）,例1 求二阶偏导数,（2）,解：,注记：, 若 在D内连续，则在D内 （二阶混合偏导数与求导次序
6、无关的充分条件！） 类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、n阶 偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数； 高阶混合偏导数与求导次序无关的条件类似 二阶情形； 二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个， n阶有2n个；三元函数的n阶偏导数有3n个； 等等。,例2 求 的 n 阶偏导数,解：,三全微分,1全增量 偏增量：对于z=f(x,y)若两个自变量中只有一 个变化时，函数z的增量称为偏增量。 例如：矩形板在长为x0，宽为y0时，若仅当长增加 x(或宽增加y)，则面积的增量是偏增量。,右端称偏微分,全增量：对于z=f(x,y)，若两个自变量都取 得增量时，函数z的增量称为全增量。,例如：矩形金属板受热喷
7、膨胀时，长和宽都要发生改变 这时面积的改变量（增量）就是全增量。 定义(全增量)： 设z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的邻域(P0) 内有定义，当 x：x0 x0 +x； y：y0 y0+y， 相应地 z：f(x0,y0)f(x0 +x,y0+y) P(x0 +x,y0+y)(P0) 称 z = f(x0+x,y0+y)-f(x0,y0) 为 z=f(x,y) 在点 P0 的关于自变量增量x、y的 全增量。,例3 设矩形金属板的长宽各为x0,y0 ，受热后分 别有增量x,y ，求矩形面积的增量S 。,解： S = xy S= f(x0+x,y0+y)-f(x0,y0) = (x0+x)(
8、y0+y)- x0y0 = x0y + y0x + xy,o,x,y,x0,y0,y0+y,x0+x,x0y,y0x,xy, 一般地，全增量不等于两个偏增量之和,换言之，全增量并不是x,y的线性函数。,2全微分 与一元函数一样，我们希望全增量z能用自变量增 量x,y的线性函数（线性主部）来近似地表达。,定义（全微分）： 若函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量可表示成 z=f(x+x,y+y)-f(x,y)=Ax +By+o() 其中A，B不依赖x,y仅与x,y有关， 则称函数z=f(x,y)在点(x,y) 可微分（简称可微） 把Ax +By 称为函数z=f(x,y)在点(x,y) 的全微
9、分 记为dz ，即 dz= Ax +By (z的线性主部),注记：, 若z=f(x,y)在域D内各点可微分，则称 z=f(x,y)在D内可微分； z=f(x,y)在点(x,y)可微分 z=f(x,y)在点(x,y)连续； 由于自变量增量等于自变量的微分 x=dx,y=dy ，故全微分 dz= Adx +Bdy, z=f(x,y)在(x,y)可微分的必要条件,定理1：若z=f(x,y)在点(x,y)可微分，则z=f(x,y) 在(x,y)的偏导数 必定存在，且,证明：,由条件 当(x+x,y+y)(x,y)时 z=Ax +By+o() 特别地(x+x,y)(x,y) ，有 z=Ax + o()=
10、Ax + o( x ) 同理, z=f(x,y)在(x,y)可微分的充分条件,定理2：若z=f(x,y)的偏导数 在点(x,y)连续，则z=f(x,y)在 (x,y)可微。 （本定理的证明不作要求！ ）,注记： 对于一元函数,y=f(x)在x可微 y=f(x)在x可导 且 dy=f(x)dx 可导 连续,注记： 对于二元函数,z=f(x,y)在(x,y)可微 z=f(x,y)在(x,y) 有 z=f(x,y)在(x,y)可微 z=f(x,y)在(x,y)可微,存在,存在且连续,可微,存在,可微,连续,可微,连续,存在,连续,注记： 二元函数全微分定义及可微分条 件可完全类似地推广到三元及三 元以上的多元函数情形。, 多元函数全微分符合叠加原理：,例4 求 的全微分,解：,例5 求 的全微分,解：,*3全微分在近似计算中的应用, , x,y,z的绝对误差, z的相对误差,*例6 计算 的近似值,解 : 设 f(x,y)= x y ,求f(1.97,2.98)的近似值。 而 f(1.97,2.98)= f2+(-0.03),3+(-0.02) 问题变为求f(x,y)当 x0= 2 , y0= 3 , x = -0.03, y = -0.02 时的值,
