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1、2.6 函数的连续性(2),定义：设函数f(x)在 处及其 附近有定义，而且,则称函数f(x)在点 处连续，,称为函数f(x)的连续点。,函数f（x）在点x0处连续必须 同时具备三个条件：,1、 存在，即函数 在点x0处有定义。,2、 存在。,3、,必须同时满足。,二、单侧连续性：,并且,如果函数 在点 处及其右侧附近有定义,则称f(x)在点 处右连续。,类似地：,则称f(x)在 处是左连续。,如果函数 在点x0处及其左侧附近有定义，并且,三、函数的连续性：,1、开区间内连续：如果 在某一开 区间 内每一点处都连续，就说函 数f（x）在开区间（a，b）内连续，或 说f（x）是开区间（a，b）内
2、的连续函数。,2、闭区间上连续：如果函数 在开区间 内连续，在左端点 处右连续，在右端点 处左连续，就说函数 在闭区间 上连续。,如图：,指出下列函数在开区间（0，1）内或闭区间0，1上是否连续：,从几何直观上看，闭区间a，b上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图： 对于任意 ，这时我们说闭区间a，b上的连续函数f（x）在点x1处有最大值f（x1），在点x2处有最小值f（x2）。,四、闭区间上连续函数的性质：,性质1 最大值最小值定理： 如果f（x）是闭区间a，b 上的连续函数，那么f（x） 在闭区间a，b上有最大值 和最小值。,注 函数的最大值、最小值可能在区间端点上取
3、得。如函数 在点x=1处有最大值1，在点x=-1处有最小值 -1（如图）,再如对二次函数y=ax2+bx+c来说，在给定的任意一个闭区间上均有最大、最小值。,若 令,因为函数f（x）、g（x）在x=x0处连续，所以函数h（x）在x=x0处有定义,我们以前学习了许多函数，如幂函数,由图象可以看出，这些函数在其定义域内每一点处的极限值都等于函数值，它们在其定义域内都是连续的。同样由上面的性质2，我们可知，这些函数和常数经过有限次四则运算而得到的函数在其定义域内仍是连续的。例如：二次函数 可以看作是由常数a乘以幂函数x2的积，加上常数b乘以幂函数x的积，再加上常数c而得到的，它在其定义域内每一点都是连续的。,由连续函数的定义，我们可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f（x）在其定义域内是连续的，点x0是其定义域内的一点，那么求 时函数f（x）的极限，只要求出f（x）在点x0处的函数值f（x0）就可以了，即,五、利用连续性求函数的极限：,例：,练习：1 利用函数的连续性，求下列极限：,思考题：,指出下列函数在哪些点处不连续，为什么？,小结：,1、学习了连续函数的两条性质。,2、掌握当函数在点x0处连续时，的极限公式：,3、会用数形结合解决有关函数的连续性问题,作业：P104习题2.6 5,结束,
