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1、1几何 2主持人 A：介绍嘉宾。说明本课题主要内容，引出下面的话题。以往，一提起几何教学，我们（包括学生）首先想到的往往是“ 证明”证明两条直线平行、 证明两个三角形全等 ，以至于我 们无论是教学还是考试常常不知不觉将“ 证明能力”等同于 “几何能力”。新 课程的实施已经对此给 出了答案。与此同时，有的教 师针对当今课堂里出现的一些问题，又提出了新的担忧学生整体推理能力在下降。事实果真如此吗？今天我们就研讨如何看待与发展学生的推理能力。按照新课程的理念，学生的推理能力主要由“合情推理 ”能力与“演绎论证” 能力构成。因此，我们 的研讨就围绕这两个方面进行。B：让我们首先看这样一个问题：许多教过
2、老人教版教材的老师教了新教材之后普遍有这样一个看法：新教材轻视了对概念的准确定义以及对定理的推理论证，没有展开分析、讨论，只要求学生去 记概念、定理，讲求会用就行，这就叫知其然，不知其所以然，显然不利于学生的长期发展。如：北师版七下关于“ 三角形内角和定理 ”的内容没有 证明过程，只是让学生用剪纸拼接实验来加以说明，又如：七下教材中关于等腰三角形三线合一的内容，教材中也没有具体证明，用折纸的方法使学生确定它们的存在。 这是 逻辑推理的一大忌讳，不利于学生逻辑推理能力的培养，而失去了数学的严谨性。 这种想法 对吗？究其根源是什么？（屏幕显示）A:要解决此问题是否正确，关键是认识合情推理与演绎推理
3、，弄清它们之间的联系。C:一、认识合情推理与演绎推理1、正确理解合情推理根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 （屏幕显示）初中数学新课程标准关于空间与图形的教学中指出：“降低空间与图形的知识内在要求，力求遵循学生的心理发展和学习规律，着眼于直观感知与操作确认，多2从学生熟悉的实际出发，让学生动手做一做，试一试，想一想，认识图形的主要特征与图形变换的基本性质，学会识别不同图形；同时又辅以适当的教学说明，培养学生一定的合情的推理能力”，并为学生“利用直观进行思考”提供了较多的机会。合情推理使学生熟悉了掌握知识的过程和方法，提高
4、了观察与分析问题的能力，使得教学过程变成了学生积极参与的智力活动的过程，锻炼和培养了他们深刻的思维能力，从而促进创造能力的提高，难怪世界上许多著名数学家、教育家对合情推理都给予了积极的评价。如牛顿说过“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，波利亚认为“要成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家”等等。D：2、正确理解演绎推理从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证明结论，这种推理称为演绎推理，通常叫证明。（屏幕显示）“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 大前提- 已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-根据一般原理，对特殊情况做出的判断。A：3、
5、正确认识合情推理与演绎推理的区别:（1）合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理。（2）从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确有待证明；演绎推理得到的结论一定正确。（3）演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。B：4、合情推理与演绎推理的联系与互补作用数学家波利亚说:“数学可以看作是一门证明的科学，但这只是一个方面，完成了数学理论，用最终形式表示出来，像是仅仅由证明构成的纯粹证明性。严格的数学推理以演绎推理为基础，
6、而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。”合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法做出的探索性的判断。当今，教育正在全面推进，旨在培养学生创新能力的教学改革。但长期以来，中学数学教学十分强调推理的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的3AB CDEF合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理
7、外，合情推理也起重要作用，合情推理与演绎推理是相辅相成的。D:在证明一个定理之前，先得猜想、发现一个命题的内容，在完全作出证明之前，先得不断检验、完善、修改所提出的猜想，还得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合，然后加以类比，继而一次又一次地进行尝试，在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理。合情推理的实质是“发现-猜想”，著名的数学家波利亚早在 1953 年就大声疾呼：“让我们教猜测吧！”、“先猜后证”这是大多数的发现之道。在解决问题时的合情推理的特征是不按逻辑程序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃性的表现形式。因此在数学学
8、习中，既要强调思维的严密性，结果的正确性，也要重视思维的直觉探索性和发现性，即应重视数学合情推理能力的培养。“图形与证明”是初中数学的重要内容，人们需要掌握通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想正确与否的原理、策略和方法，以及结合合情推理与演绎推理发展推理能力。C:原人教版教材的内容，先学习代数，七下才开始学习几何，同时几何概念多，性质定理结论多，不容易理解，特别注重推理论证，逻辑性要求高，对一部分逻辑思维能力稍差的学生逐尽地丧失学习的兴趣与积极性，而新课程标准对几何的教学注重合情推理能力过程的培养，调动了学生主动参与的意识与积极性，引导学生自己经历观察、实验、归纳、类比的过程去发现结论、总
9、结结论，然后证明结论。并且对问题在学生合情推理的过程中产生很多方法，有助于学生创新能力的培养，符合社会创新发展的需求。A:加强合情推理，调整“证明”的要求，强化理性精神。课程标准要求：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力。 ”课程标准改变传统几何偏重于演绎推理的“证明”倾向，强调合情推理与演绎推理相结合的“通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例”的过程，要求学生获得数学结论应当经历合情推理演绎推理的过程。这个加强应该特别引起我们的重视，因为这是对传统几何教学的一个挑战，是新课程空间与图形教学的一个新特色。D:下面通过两个具体的例题来体
10、会合情推理与演绎推理的综合考察4例 1：如图，AB=AC，D、E 分 别是线段 AC、AB 上的点，且 AD=AE，BD 交 CE 于 F，试在图中找出 3 对全等三角形和 3 个等腰三角形，并对其中一个结论给出证明。考查内容：图形分解与组合的技能，能否利用合情推理能力获得合理的数学猜想，基本的证明能力。例 2：某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形一定为正多边形”这个命题是否成立时，进行了一些讨论。甲同学在讨论中提到了圆内接矩形；乙同学找来了 这样一个几何事实：（图一），ABC 是正三角形， ，可以证明六边形 ADBECF 的各内角相等。丙同学认为当边数是 5 时这个命题是成立的，于是
11、他猜想边数是 7 时这个命 题仍然成立。（1）你认为各内角都相等的圆内接多边形一定是正多边形吗？简要叙述你的理由。（2）请你证明，各内角都相等的 圆内接七边形 ABCDEFG（图二）是正七边形。（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必 证明）图一 图二 考查内容：理解反例的作用，并能借助恰当的反例证明一个命题是错误的；同时也会用简单的逻辑推理证明一个命题是正确的，具备初步的合情推理能力。A:二、如何培养学生的推理能力B:（一）如何培养学生的合情推理能力学生在实际的操作过程中，要不断地观察、比较、分析、推理，才能得到正确的答案。如：在圆的教学中，结合圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论；利用圆的
12、旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量，发现圆心角与圆周角之间的数量关系；利用直观操作，发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系等等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，这个过程中就发展了学生的合情推理能力。注意突5出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质，同时也有助于学生空间观念的形成，合情推理的方法为学生的探索提供努力的方向。C:（二）如何培养学生
13、的演绎推理能力1、关注证明的基本过程和基本方法在命题教学中，应通过生活和数学中的实例来说明什么是命题；能够区分一个简单命题的真伪，能够用反例来判定一个命题是假命题；对几何中的一些基本命题，应该要求学生能够画出相应的图形，并逐步学会用符号来表示命题。应该使学生理解证明的基本要求，有条理地阐述自己的想法，知道推理必须有依据，证明过程的表述必须条理清楚。D:2、掌握作为证明基础的几个基本几何事实-公理，并在此基础上，展开对基本几何图形性质的证明，掌握综合法的证明格式和方法。课程标准不再按原大纲以扩大的公理体系为基础，以演绎推理为主要形式的定理证明，而是学生在利用观察、实验、操作、思考等合情推理的方法
14、对图形的性质进行研究的基础上，从几个基本事实出发，即将其视为公理，进行演绎的证明，构建了一个局部公理化的体系来证明 40 条左右仅限于三角形、四边形的主要性质的命题，一方面进一步认识和掌握这些性质，进而达到对几何图形性质的认识；另一方面要掌握的就是证明的基本方法和要求，能够用形式化的语言来表达证明的过程。A:3、恰当把握证明要求。课程标准要求在练习和考试的证明中证明有关的题目难度，应与课程标准中所列的用基本事实证明 40 条左右命题的论证难度相当， “相似形” 、“圆”的内容没有列入“图形与证明”的内容标准里，并仅限于三角形、四边形的重要性质，即“相似形” 、 “圆”的内容中不再要求命题的证明
15、，降低对证明的难度、繁杂程度和证明的技巧的要求。使学生既掌握证明的基本方法，又能体会证明的意义，协调地发展推理能力。大部分地区中考说明中对几何证明的要求是能通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；用比较规范的逻辑推理形式表达自己的演绎推理过程。这样要求的目的，是希望学生能对基本的证明方法有所掌握，对证明必要性有所认识，它体现了义务教育阶段的数学课程理念，是数学课程面向所有学生，满足学生6的未来发展的需要。课程标准还提到了要让学生了解证明的必要性，这一点在教学过程中是怎么落实的？ D:4、理解证明的必要性关于证明必要性的教学，以往我们比较忽略，其实，这是区别主动学习
16、与被动学习的一个要点。而这一点可以通过生活、代数和几何中的具体例子使学生认识到，有些命题可以通过观察和实验得到并获得大家的认可，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而使学生体会证明的必要性。不一定采用告知的方式。以下的问题都是教学时可以采用的例子。问题二：（屏幕显示）问题（1）：当 n=0，1，2，3，4，4，5 时，代数式 的值是质数吗？你12n能否得到结论：对于所有自然数 n， 的值都是质数？ （ n=11 时，12=121=11 是合数； n=12 时， =143=11 是合数；）2nn3问题（2）：假如用一根比地球赤道长 1 米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的空隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？还是连一只蚊子都钻不过去？ （ d= 0.16 米）2在以上 2 个例子中，有限次的实验或者是观察或经验、直觉，都将给我们带来不一定
