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1、矩阵Kronecker乘积的性质与应用 摘要 按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。 本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker积进行介绍和必要的说明。之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和
2、必要的证明。 矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程 Properties and Applications of matrix Kronecker productAbstract According to the definition of matrix multiplicat
3、ion, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article wi
4、ll describe a special matrix product , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are i
5、ntroduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described
6、and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image process
7、ing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation.Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differe
8、ntial Equations 目录摘要IAbstractII第一章 矩阵的Kronecker积11.1 矩阵的Kronecker积的定义11.2 矩阵的Kronecker积的性质1第二章 Kronecker积的有关定理及推论6第三章 矩阵的拉直93.1矩阵的拉直的定义93.2矩阵的拉直的性质9第四章 矩阵的Kronecker积与矩阵方程114.1矩阵的Kronecker积与Lyapunov矩阵方程114.2矩阵的Kronecker积与一般线性矩阵方程134.3矩阵的Kronecker积与矩阵微分方程14参考文献16致谢18符号说明 实数域 复数域 零矩阵 Kronecker积 18第一章 矩
9、阵的Kronecker积1.1 矩阵的Kronecker积的定义定义1.1设矩阵，矩阵，定义A和B的Kronecker积（或直积，张量积）为：可以看出，其结果是一个矩阵，同时也是一个以为子块的分块矩阵.例1.1 设，则由此可见，与具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker积不满足交换律. 1.2 矩阵的Kronecker积的性质虽然Kronecker积不满足交换律，但是具有以下一些性质：性质1.2.1 设矩阵，矩阵，则（这个O为矩阵）.证明：略.性质1.2.2 设k为任一常数，矩阵，矩阵，则.证明：不失一般性，设，则：，根据Kronecker积的定义可以得到：， ， 即，.
10、所以.性质1.2.3 设A，B为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则，.证明：不失一般性，设，则：，根据Kronecker积的定义可以得到： (1.1)*， (1.2)*， (1.3)*，由(1.2)*，(1.3)*得： (1.4)*，由(1.1)*，(1.4)*可得：.同理设可证：.性质1.2.4 设矩阵，矩阵，矩阵，则证明：不失一般性，设，则： 得证.性质1.2.5设矩阵，矩阵，矩阵,矩阵，则证明：不失一般性，设，则：得证.性质1.2.6 设矩阵可逆， 且矩阵可逆，则可逆，且.证明：(这里I与数的乘法中的1起到相同的作用)，故.性质1.2.7 设矩阵，矩阵，则证明： 得证.同理可证：.性质
11、1.2.8 两个正交（酉）矩阵的Kronecker积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵，矩阵.因为A，B都是正交（酉）矩阵，所以有，.由性质1.2.7和性质1.2.5可得：.故. 得证.第二章 Kronecker积的有关定理及推论定理2.2.2 设矩阵，矩阵，则. 证明：设rank A=r，rank B=s，A，B的标准形分别为：， 其中，1，2)均为非奇异矩阵，则由性质1.2.5和1.2.6可以得： 所以 得证.定理2.2.3 设矩阵，矩阵，对于向量和，若x是A关于特征值的一个特征向量，y是A关于特征值的一个特征向量，则是对应特征值的一个特征向量.证明：因为x，y都是非零向量，所以xy也是非
12、零向量，由性质1.2.2和性质1.2.5可得：.所以，是对应特征值的一个特征向量.推论2.2.4 设矩阵，矩阵，对于向量和，若A的特征值是，；B的特征值是，则的特征值为，（k重根算k个）.定理2.2.5 设矩阵，矩阵，对于向量和，若x是A关于特征值的一个特征向量，y是A关于特征值的一个特征向量，则是对应特征值的一个特征向量. 证明：由性质1.2.3，性质1.2.5可以得到：，故.所以，是对应特征值的一个特征向量.推论2.2.6 设矩阵，矩阵，对于向量和，若，是A关于特征值，的特征向量， ，是B关于特征值，的特征向量，则的个特征值为.(s=1，2，m；t=1，2，n).例2.2 设矩阵，矩阵，对于向量和，若，是A关于特征值，的特征向量， ，是B关于特征值，的特征向量，证明：矩阵的特征值是，对应的特征向量为.(i=1，2，m；j=1，2，n).证明：由性质1.2.3和性质1.2.5可得：，故有：所以，矩阵的特征值是，对应的特征向量.定理2.2.7 设矩阵，矩阵，则证明：由Kronecker积和迹的定义可得：得证.定理2.2.8 设矩阵，矩阵，则 证明：设A的特征值为，B的特征值为，由推论2.2.4可得：得证.第三章 矩阵的拉直3.1矩阵的拉直的定义定义3.1 设，定义矩阵A的按行拉直为：即矩阵A的拉直是一个元的列向量，它是由矩阵A所有元素按行顺序依次排成一列得
