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1、1,寄 语,假舟楫者，非能水也，而绝江河。,假舆马者，非利足也，而致千里；,-旬子,2,第22章,第一节、第一型曲面积分(或：对面积的曲面积分),第三节、高斯(Gauss)公式与斯托克(Stokes)公式,曲面积分,第22章,本章内容：,第二节、第二型曲面积分(或：对坐标的曲面积分),第四节、场论初步（只讲一部分）,3,第1节 第一型曲面积分 (或：对面积的曲面积分),一、第一型曲面积分的概念,二、第一型曲面积分的计算,第22章,本节内容：,4,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“分割-大化小, 近似代替-常代变
2、, 求近似和, 取极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者， 即划分的细度).,5,定义:,设 S 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,f (x, y, z) 是定义在 S 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 S做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 S 上对面积,函数, S 叫做积分曲面.,6,则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 S
3、上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似., 积分的存在性.,若 S 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,7,定理22.1 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 S 上连续,存在, 且有,二、第一型曲面积分的计算,则曲面积分,证明: 由定义知,8,而,(S光滑),9,说明:,可有类似的公式.,1) 如果曲面方程为,2) 若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS,的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分. (见P281 本节后面的例题 ),10,例1. 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,11,思考:,若 S 是球面,被平行平面 z =h 截
4、,出的上下两部分,则,12,例2 计算,解：,例3 计算,解：,13,例4. 计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面. （补充）,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示S 在平面,14,例5.,设,计算,解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,15,思考: 若例5 中被积函数改为,计算结果如何 ?,16,例6. 计算,解: 取球面坐标系, 则,17,例7. 计算,其中 S 是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若将曲面分为前后(或左右),则,解: 取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,18,例8. 求椭圆柱面,位于 xoy
5、面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 S 的侧面积 S .,解:,取,19,例9. 求半径为R 的均匀半球壳 S 的重心.,解: 设 S 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球坐标,20,例10 设均匀抛物面壳,其面密度为,解：,21,例11. 计算,其中 S 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,22,例12.,设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度,h = 36000 km,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.,(地球半径 R = 6400 km ),解:,建立坐标系如图,覆盖曲面 S 的,半顶角为 ,利用球
6、坐标系, 则,卫星覆盖面积为,23,故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为,由以上结果可知, 卫星覆盖了地球,以上的面积,故使用三颗相隔,角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球,全表面.,说明: 此题也可用二重积分求 A. 当h=0时，上述面积之比为0， 当h趋于无穷时，上述面积之比是1/2。-与直观想象的结果一致。,24,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,25,作业,P 1（1）,(3); 2; 3,26,备用题 1. 已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z1以上部分S 的,的面密度,质量 M .,解: S在 xoy 面上的投影为,故,27,2. 设 S 是四面体,面, 计算,解: 在四面体的四个面上,同上,28,29,3. 设,一卦限中的部分, 则有( ).,( 2000 考研 ),30,解,4.,31,解,对称性知：,5.,32,33,解,6.,34,35,7.,36,解,37,（左右两片投影相同）,
