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1、,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,第二型曲面积分,第十一章,一、基本概念,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,设连通曲面 S 上处处有连续,设 M0 为曲面 S 上一点，确定,方向为正方向，另一个方向为负方向.,L 为 S 上任一经过点 M0 且不超出 S 边界的闭曲线.,设点 M 从 M0 出发，沿 L 连续移动， M 在 M0 点与M0,变动的切平面（或法线）,曲面在M0 点的一个法线,有相同的法线方向，,当点 M 连续移动时，其法线方向,也连续变动，最后
2、当 M 沿 L 回到M0 时，若这时 M 的,法线方向仍与 M0 点的法线方向一致，则称此曲面 S 为,双侧曲面；若与 M0 法线方向相反，则称 S 为单侧曲面,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面. 单侧曲面的,一个典型例子是默比乌斯(Mbius)带. 它的构造方,法如下: 取一矩形长纸条ABCD (如图22-4(a), 将其,重合, B 与 D 重合, 如图1所示 ).,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,线方向与 z 轴正
3、向的夹角成锐角的一侧称为上侧,另一侧称为下侧. 当 S 为封闭曲面时,法线方向朝外,的一侧称为外侧，另一侧称为内侧. 习惯上把上侧,作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为,正侧, 内侧作为负侧.,第二型曲面积分的概念与性质,1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量 .,分析: 若 是面积为S 的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得, 则,设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P, Q, R
4、叫做被积函数;, 叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对 的任,2. 定义：,引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面 上对 y, z 的曲面积分;,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,3. 性质,(1) 若,之间无公共内点, 则,(2) 用 表示 的反向曲面, 则,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理: 设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数, 则,证:, 取上侧, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),说明
5、:,如果积分曲面 取下侧, 则,例1. 计算,其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式, 的顶部,取上侧, 的底部,取下侧,解: 把 分为上下两部分,思考: 下述解法是否正确:,例2. 计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,例3. 设S 是球面,的外侧 , 计算,解: 利用轮换对称性, 有,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,令,向量形式,例5. 设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,例6. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z=
6、 0,及 z = 2 之间部分的下侧., 原式 =,原式 =,内容小结,定义:,1. 两类曲面积分及其联系,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?,两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与,2. 常用计算公式及方法,面积分,第一类 (对面积),第二类 (对坐标),二重积分,(1) 统一积分变量,代入曲面方程 (方程不同时分片积分),(2) 积分元素投影,第一类： 面积投影,第二类： 有向投影,(4) 确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,当,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式 .,备用题 求,取外侧 .,解:,注意号,其中,利用轮换对称性,
