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1、曲线积分与曲面积分习题课,（一）曲线积分与曲面积分,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,（二）各种积分之间的联系,积分概念的联系,定积分,二重积分,曲面积分,曲线积分,三重积分,曲线积分,计算上的联系,其中,理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,3.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,4.曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,习题:,计算,其中L为圆周,提示: 利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,P246 3 (1),P246 3(3). 计算
2、,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,P246 3(6). 计算,其中由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,例. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),则,添加辅助线段,计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,练习题: P246 题 3(5) ; P246 题6; 10,3(5).,P246 6 .,设在右半平面 x 0 内, 力,构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中,场力所作的功与
3、所取的路径无关.,提示:,令,易证,P246 11.,求力,沿有向闭曲线 所作的,功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从 z 轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,设三角形区域为 , 方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,解,B,A,O,l,s1,s2,练习:,P246 题4(3),其中 为半球面,的上侧.,且取下侧 ,提示: 以半球底面,原式 =,记半球域为 ,高斯公式有,计算,为辅助面,利用,例.,证明: 设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,例. 计算曲面积分,其中,解:,例. 设 是曲面,解: 取足够小的正数, 作
4、曲面,取下侧,使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分, 且取下侧 ,取上侧, 计算,则,第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得,(1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是,备用题 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄,象机能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄,像, 若地球半径为R , 卫星距地球表面高度为H =0.25 R ,卫星绕地球一周的时间为 T , 试求,(2) 在,解: 如图建立坐标系.,的时间内 , 卫星监视的地球,表面积是多少 ?,多少 ?,(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为,(2) 在,时间内监视的地球表面积为,点击图片任意处 播放开始或暂停,注意盲区与重复部分,其中S0 为盲区面积,(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为,(2) 在,其中盲区面积,时间内监视的地球表面积为,
