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1、第二章习题解答 2011 概率论与数理统计习题集第二章 1，3，5，7，9，11 1. 一口袋中装有 a 个白球 b 个黑球。 连续不返回地从袋中取球， 直到取得黑球为止， 以 X 表示取球的次数。求 X 的分布列。 解：解：方法一。设 i W 为事件“第 i 次取得白球” ， i W 为“第 i 次取得黑球” ， 1,2,iab。则 121 121121 ()() () (|)(|) 1(2) 1(2)(1) !()!(1)! ()!(1)! (1)! 1 ,1,2,1. kk kk P XkP WWW W P W P WWP WWWW aaakb ab ababkabk b a abkb
2、abakb abk b ka ab b 方法二。连续不返回地从袋中取球的试验，相当于对 ab 个球随机地排列，共有 ()!ab 种排法。以此 ()!ab 种排法构成的集合作为样本空间，假定每种排法等概 率。事件 “Xk 相当于在第 k 个位置上放一个黑球，在末 abk 个位置中选 取 1b 个位置放余下的 1b 个黑球，共包含 ! ! 1 abk a b b 种排法。所以 ! ! 11 (),1,2,1 ()! abkabk a b bb P Xkka abab b 。 3. 一口袋中装有 3 个白球 2 个黑球。采用有放回方式连续取球，直至接连两次取到同颜 色的球为止。以 X 表示所需的取球
3、次数。求：(1) X 的分布列；(2) P(10)X 。 解：解：(1) 记一次取得白球的概率为 p，显然 3/50.6p 。假定每次取球都相互独 立。 “Xk”表示第 1,kk 次取出同色球，前 2k 次两色球轮流被取得， 2,3,k 。当 k 为偶数时，取出的第一个球与最后两个球同色；当 k 为奇数时，取 出的第一个球与最后两个球异色。记 i W 为第 i 次取得白球，1,2,i 。 当 2km 时，由于 11 11 12122121212212 2 2 2 ()(), mm jjjmmjjjmm XmXm WXm W WWWWWWWW 因此， 11 22 1 22 (2 )(1)(1)(
4、1) (1)(1). mm m P Xmpppppp pppp 当 21km 时， 11 121221121221 (21)(21)(21) ()() (1)(1)(1) (1). mm jjjmjjjm mm m P XmPXmWPXmW PWWWPWWW pppppp pp 1,2,m。 (2) 记 (1)0.24app ，则 1054 211 54 55 (10)()(2 )(21) 1(1) (1 2 )1 21 2 0.240.9984. 11 kmm P XP XkP XmP Xm aaa aa aa 5. 某计算机有 20 个终端，这些终端被各单位独立使用。据统计，每个终端被使用
5、的概率各 为 0.7。求有 10 个或更多个终端同时被使用的概率。 解：解： 设在指定的时间点上同时被使用的终端数为 X。 根据问题的条件可知，( , )XB n p， 其中 20,0.7np。因此， 10 (10)(1) 0.03080.06540.11440.16430.19160.1789 0.13040.07160.02780.00680.00080.9828. n xn x x n P Xpp x 用 Poisson 分布近似计算。令( , )YnXB n q，其中0.3q 。记6nq，则 10 0 (10)(10) ! 0.04130.06880.10330.13770.16060
6、.1606 0.13390.08920.04460.01490.00250.9574. k k P XP Ye k 7. 设随机变量 X 与 Y 的分布列分别为 2 4 2 ()(1),0,1,2, 4 ()(1),0,1,2,3,4. kk ll P Xkppk k P Ylppl l 已知 5 (1) 9 P X ，求 (1)P Y 。 解：解：因为 2 4 (0)1(1)(1) 9 P XP Xp ，因此， 4 81 1665 (1)1(0)1 (1) 8181 P YP Yp 。 9. 螺丝钉中废品率为0.015, 问一盒应该装多少只才能保证每盒中有 100 只以上的好螺 丝钉的概率不
7、少于 80%. 解：解：设一盒中装 n 只螺丝钉，则其中的废品数( , )XB n p，其中 0.015p 。要求 n 使 101 0 (100)(100)(1)80% n kn k k n P nXP Xnpp k 。当 n 较大、 np 较小、 k较小时， () (1) ! k kn knp n np ppe kk 。 可用此近似方法逐个计算 n=101， 102，103，104， 时 P(X0.80。故一盒中至少应装 104 只螺丝钉才能保 证有 100 只以上的合格品。 11 设随机变量 X 服从 Poisson 分布，且 (4)(3)P XP X，求(1)P X 。 解：解：设该 P
8、oisson 分布的参数为 ，则 43 (4),(3) 4!3! P XeP Xe 。 由 (4)(3)P XP X 知，4。因此， 01 4 (1)1(0)(1) 11 50.9084. 0!1 P XP XP X eee ！ 补充： 2.1 某厂欲从供应商那里购买一批同样的元件，数量很多。双方约定的验货规则是：从这批 货中随机抽检 20 只元件，若其中不合格数不超过 2，则厂方接收这批货，否则退货。请问： 1) 若这批元件中有 10%的不合格品，厂方接收的概率是多少？ 2) 若这批元件中有 1%的不合格品，厂方接收的概率是多少？ 有人建议，减少抽检的元件数，提高效率，将验货规则改为：随机抽
9、检 10 只元件，若其中 不合格数不超过 1，则厂方接收这批货，否则退货。请问，这两条验货规则哪一条有利于厂 方？为什么？ 解：解：设抽出的 20 只元件中不合格品数为 X。因为这批元件的数量很多，从中不放回地 抽取 20 只与有放回地抽取 20 只情况相当接近，故可近似地认为 (20, )XBp，其中 p 为整批产品的不合格率。因此， 020119218 202020 (2)(1)(1)(1) 012 P Xpppppp 。 1) 若 p=10%，则 (2)0.12160.27020.28520.6769P X 。 2) 若 p=1%，则 (2)0.81790.16520.01590.999
10、0P X 。 若将验货规则改为抽 10 只元件，则其中的不合格品数 (10, )YBp。当 p7%时， (2)(1)P XP Y，这表明在整体不合格率较高时，采用抽 10 只元件的验货规则 更容易让厂方接收，这不利于厂方。 9.26 2011 概率论与数理统计习题集第二章 1417 14在 ( 10,10) 中随机地、等可能地取一点。 X 为一随机变量，若所取的点在 5,5 中，则 X 取其坐标值；若所取的点在 ( 10,5) 中，则 5X ；若所取的点在 (5,10) 中，则 5X 。求 X 的分布函数。 解：解：设取得的点的坐标为 Y。则 ( 10,10)YU ， 5,if( 10,5),
11、 ,if 5, 5, 5,if(5, 10). Y XYY Y 因此，X 的 d.f. 为 0,if5, ( )(),if 5, 5), 1,if5, x x F xP Xxabx x 其中 5 10 151 ( 10,5), 20204 5 ( 5, ). 20 x aP Ydy x bP Yx 15确定下列函数中的常数 c，使之成为密度函数。 (1) | | ( ),. x f xcex (2) (1),01, ( ) 0,. cxxx f x elsewhere (3) 2 cos,|, ( )2 0,. cxx f x elsewhere 解：解：(1) 由密度函数的规范性可知， |
12、| 0 1( )22 xx f x dxcedxce dxc ， 所以 1/2c 。 (2) 由密度函数的规范性可知， 1 0 1( )(1)(2,2) 6 c f x dxcxx dxc Beta ， 所以 6c 。 (3) 由密度函数的规范性可知， 2 2 2 2 22 00 2 0 1( )cos 1 cos2 2cos2 2 cos2, 22 f x dxcxdx x cxdxcdx cxdxc 所以 2/c。 16设 X 为一连续型随机变量，密度函数为 | | 1 ( ), 2 x f xex 。求 (1 | 2)PX。 解：解： 21 12 22 12 11 (1 | 2)(12)
13、( 21) ( )( ) 1 2( )2. 2 x PXPXPX f x dxf x dx f x dxe dxee 其中第三个等式是由于被积函数 ( )f x 关于 0x 对称。 17设随机变量 X 的密度函数为 2 ( ), 1 c f xx x 。 (1) 求常数 c 的值； (2) 求 2 X 位于 1/3 与 1 之间的概率； (3) 求 X 的分布函数。 解：解：(1) 由密度函数的规范性可知， 0 2 0 1 1( )22 arctan| 1 f x dxcdxcxc x ， 所以 1/c。 (2) 由于 X 的密度函数是偶函数，故 2 1 3/3 11 (1)2 (1) 33 221 arctan(). 466 PXPX x (3) X 的分布函数为 ( )() ( ) 11 arctanarctan() 2 11 arctan ,(,). 2 x x F xP Xx f t dt tx xx 补充： 2.2 某型号电子元件的寿命 X （单位：小时）的概率密度函数为： 2
