《高数同济5版第九章习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数同济5版第九章习题（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,习题课,一、 重积分计算的基本方法,第九章,重积分的计算及应用,1. 选择合适的坐标系,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为好 .,3. 掌握确定积分限的方法, 累次积分法,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法(画图),2. 利用对称性或质心公式简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,三、重积分的应用,1. 几何方面,面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积,质量, 质心（形心）,转动惯量, 引力,2. 物理方面,被积函数相同, 且非负,解:,由它们的积分域范围可知,例2 比较下列积分值的大小关系:,例1 计算,例2 计算,原式=,例
2、3 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1,则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,例4,其中D(x y)| 0x 0y,利用二重积分的性质估计下列积分的值,C,(A),(B),(C),(D) 0,例7证明:,提示: 左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.,例8,设 f (x) 在 0,1 上连续,求,解,例9,证明,证:左端,= 右端,例11 将积分化为极坐标形式,y = R x,D1,D2,R,D,arctanR,I =,I =,=R,练习 交换积分顺序,解：积分区域D： 由 y=x, y=2x, x=1, x=2围成,1,y=2x,2,2,4,1
3、,y=x,例12 计算,解,由积分域和被积函数的对称性,有,解,D关于 x , y 轴对称,故,故,例14 计算,例15 计算二重积分,其中:,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,(2) 积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,例16 计算二重积分,其中D 是由曲,所围成的平面域 .,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,例17 计算二重积分,在第一象限部分.,解: (1),两部分, 则,其中D 为圆域,把与D 分成,作辅助线,(2) 提示:,两部分,说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D
4、分成,例18 计算,解,根据积分区域的特点,应先对 x 后对 y 积分,但由于,对 x 的积分求不出，无法计算， 须改变积分次序。,先y后x积分 ， 有,奇函数,提示: 由于被积函数缺 x , y ,利用“先二后一” 计算方便 .,原式 =,总习题九7（1）,其中是,所围成的闭区域 .,由球面,例21,总习题九7（2）,提示: 利用柱坐标,原式,其中是由,xoy平面上曲线,面 所围成的闭区域 .,绕 x 轴旋转而成的曲面与平,例22计算三重积分,总习题九7（3）,例24,例25,例27,其中,计算旋转抛物面,在,部分的曲面面积,（ ）；,B.,C.,D.,A,例28,B,设由,所确定，则积分,在柱坐标下，可以化为定积分：,，那么,。,例29,
