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1、第2章 点、直线、平面的投影,2.2 点的投影,2.3 直线的投影,2.4 平面的投影,2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置,2.1 投影方法的基本知识,2.1.1 投影法的基本知识 2.1.2 投影法的种类 2.1.3 正投影法的基本性质,2.1.1 投影法的基本知识,用灯光或阳光照射物体，在地面或墙面上就会产生影子。人们把这种现象归纳、抽象出来，便形成了把空间物体投射在平面上的投影法。,2-1 投影法的概念,投影法投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。,常用的投影方法有两种：中心投影法和平行投影法。,2.1.2 投影法的种类,1.中心投影法,中心投影法投射线汇交一点
2、的投影法(投射中心位于有限远处)。,图2-2 中心投影法,这种方法主要用于绘制建筑物或产品具有直观立体感的图透视图。,2平行投影法,平行投影法投射线相互平行的投影法 (投射中心位于无限远处) 。,图2-3 平行投影法,投射线与投影面倾斜斜投影,投射线与投影面垂直正投影,a) 斜投影 b) 正投影,1平行性 平行两直线的投影仍为相互平行的直线。 这种特性称为:平行性。 2定比性 直线上点分两线段的长度之比等于其投影长度之比。这种特性称为:定比性。,图2-4 正投影的基本特性(1),3实形性 当平面或线段平行于投影面时，其投影反映平面的实形或线段的实长。这种特性称为:实形性。 4积聚性 当平面或线
3、段垂直于投影面时，其投影积聚成为一直线或一点。这种特性称为:积聚性。,图2-5 正投影的基本特性(2),5类似性 当平面或线段倾斜于投影面时，其平面图形的投影成为一个与其不全等的类似形，线段投影成为比实长短的线段。即ab AB, 这种特性称:类似性。,图2-6 正投影的基本特性(2),2.2 点的投影,2.2.1 点在三面体系中的投影 2.2.2 特殊位置点的投影 2.2.3 两点的相对位置和重影点,2.2.1 点在三面体系中的投影,1符号规定,空间点：用大写字母A、B、C 投影点：用小写字母 水平投影 a 、 b 、 c 正面投影 a、 b、 c 侧面投影 a、 b 、 c等,(1) 建立三
4、面投影体系 V面:正立投影面 H面:水平投影面 W面:侧立投影面,2点的投影特性, aaOX轴 aaOZ轴 aax = aaz = y =A到V面的距离 aax= aay = z =A到H面的距离 aay = aaz = x =A到W面的距离,a,a,a,V,H,W,【例2-1 】已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,a,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45斜线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,a,图2-8 由点的两个投影求第三投影,a) 解法一 b) 解法二,X,O,X,O,(1) 空间点可用三个坐标表示，如 A点坐标 （XA，YA，ZA）。 X：反
5、映点到W面距离 Y：反映点到V面距离 Z：反映点到H面距离 (2) 一个投影点反映了两个坐标值，如投影 a，其坐标 XA ， YA ； 结论：若点的两个投影已知，则其空间位置确定，其第三投影也就唯一确定。,3点的坐标与投影的关系,W,【例2-2 】 已知点（15，5，10），作出点的三面投影和直观图。,a,a,a“,a,图2-10 由点的坐标求作点的投影图和轴测图,a) 投影图,b) 直观图,O,由图2-11可知: (1) 三个坐标值中有一个坐标为零时，则该点必定在投影面上 (2) 三个坐标值中有两个坐标为零时，则该点必定在其坐标值不为零的那个投影轴上。,2.2.2 特殊位置点的投影,图2-1
6、1 特殊位置点的投影,两点的相对位置指两点在空间 的上下、前后、左右位置关系。,判断方法 ：, x 坐标大的在左 y 坐标大的在前 z 坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B点在A点之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,2.2.3 两点的相对位置和重影点,1两点的相对位置,图2-12 两点相对位置,O,【例2-3】已知点A的三面投影a、a、a，并知点B在点A的左方32mm，在点A上方25mm，在点A前方20mm，求作点B的三面投影b、b、b 。,a,b,b,b“,图2-13 利用相对坐标作图,X,O,Z,YH,YW,2重影点,位于同一投射线上的两点，由于它们在投射线所垂直的投影面上的投影是
7、重合的，所以叫做重影点（重影点必须有两个坐标值相同） 。,图2-14 重影点的投影,(b),被挡住的投影加( ),2.3 直线的投影,2.3.1 直线的投影 2.3.2 各种位置直线的投影特性 2.3.3 一般位置线段的实长及其对投影面的倾角 2.3.4 点与直线、直线与直线的相对位置 2.3.5 直角投影定理,2.3.1 直线的投影,一般情况下，直线的投影仍为直线。由于两点决定一直线，因而只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其同面投影用粗实线连线，即可确定直线的投影，如图3-9所示。,图2-15 直线的投影,直线与投影面的相对位置情况：,2.3.2 各种位置直线的投影特性
8、,投影特性: 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。,1投影面垂直线,垂直于某一个投影面的直线。,图2-16 投影面的垂直线,与一个投影面平行，而对另外两投影面倾斜的直线 。,2投影面平行线,投影特性: 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,图2-17 投影面的平行线,对三个投影面都倾斜的直线。 直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角。空间直线与投影面H、V、W之间的倾角分别用、表示，如图2-18所示。,水平投影 a b = ABcos,3一般位置直线,图2-18
9、 一般位置直线,侧面投影 ab=ABcos,正面投影 ab=ABcos,2.3.3 一般位置直线实长及其对投影面的倾角,一般位置直线段在各投影面上的投影均不反映实长，也不反映对投影面的倾角。在工程上，经常遇到求一般位置直线的实长和倾角，常采用的作图方法有直角三角形法。,a,Y,Z,V,A,b,B,H,b,O,X,a,a,a,X,b,b,a,a,X,b,b,图2-19 用三角形法求一般位置直线的实长和倾角,O,O,一般位置直线的投影中可作出三个直角三角形，若只考虑直角三角形的组成关系。利用直角三角形法，只要知道四个要素中的两个要素，即可求出其他两个未知要素，如图2-20所示。,图2-20直角三角
10、形的三种三角形,30,【例2-4】已知直线AB对H面的倾角为30，试求AB的正面投影。,X,O,a,a,b,b,b1,图2-21 由线段的倾角求直线的投影,2.3.4 点与直线、直线与直线的相对位置,投影特性： 直线上点的投影必在该直线同面投影上； 同直线上两线段长度比等于其投影长度比。,1点与直线的相对位置-直线上的点,图2-22 直线上点的投影,a,b,a,b,k,b,a,k,【例2-5】在AB上求作点K，使AK:KB=1:2。,2,1,k,图2-23 求作直线上K点的投影,O,X,2直线与直线的相对位置,空间两直线的相对位置可以分为三种：平行、相交、交叉。,（1）两直线平行,空间两直线平
11、行，则它们的同面投影必然相互平行； 反之，如果两直线的各个同面投影相互平行，则两直线在空间也一定相互平行。,图2-24 平行两直线,AB、CD为侧平线，虽然abcd，abcd，但ab不平行于cd，故直线AB不平行于直线CD。,若要在投影图上判断两条一般位置直线是否平行，只要看它们的两个同面投影是否平行。但对于投影面的平行线，通常根据其三面投影（或其他的方法）来判别。,图2-25 判断两直线平行,当两直线相交时，它们在各个投影面上的同面投影也必然相交，并且交点符合点的投影规律。,（2）两直线相交,图2-26 相交两直线,【例3-6】已知点K是AB与CD的交点，求CD的正面投影cd。,分析：交点为
12、两直线所共有，且符合点的投影规律，据此可求得k；C、K、D同属一条直线，据此可求出d。,k,d,图2-27 利用两直线相交求CD直线的投影,在空间既不平行也不相交的两直线称为交叉直线。交叉直线的投影不具备平行或相交直线的投影特性，如图2-28所示。,（3）两直线交叉,图2-28 交叉两直线,2.3.5 直角投影定理,空间两直线垂直相交，如果其中一条直线平行于某一投影面，则此两直线在该投影面上的投影互相垂直，反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中一条是该投影面的平行线，则两直线在空间互相垂直。,如图2-29所示。 已知ABBC，ABH面，BC倾斜于H面。 AB H面，BbH面，A
13、BBb. 又ABBC， AB 垂直于BC和Bb所决定的平面BCcb。 又abAB，ab 平面BCcb，则有abbc，即abc为直角。,图2-29 直角的投影,【例2-7】求点A到水平线BC的距离AK及其投影。,分析：点A到BC的距离AKBC，因为BC为水平线，所以在水平面投影上能反映直角关系。,c,a,b,c,a,b,X,O,图2-30 求点到直线的投影,2.4 平面的投影,2.4.1 平面的投影表示法 2.4.2 各种位置平面的投影特性 2.4.3 平面上的点和直线,2.4.1 平面的投影表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两相交直线,两平行直线,平面图形,图2-31 平面表示法
14、,平面的表示方法如图2-31所示。,2.4.2 各种位置平面的投影特性,平面与投影面的相对位置情况：,投影特性： 平面在所平行的投影面上的投影反映实形。 平面在另两个投影面上的投影均积聚为一条直线，且平行于相应的投影轴。,1投影面平行面,平行于一个投影面，并必与另外两个投影面垂直的平面。,水平面 正平面 侧平面,图2-32 投影面的平行面,投影特性： 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线，它与投影轴的夹角分别反映该平面对另两个投影面的倾角。 平面在另两个投影面上的投影均为小于原平面的类似形。,2投影面垂直面,垂直于一个投影面，并与另外两个投影面倾斜的平面。,铅垂面 正垂面 侧垂面,图2-33 投影面的垂直面,3一般位置
