矩阵各节内容讲解

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1、第二章 矩阵各节内容讲解,21 矩阵的概念 22 矩阵的运算 23 几种特殊矩阵 24 n阶方阵的行列式 25 逆矩阵 26 矩阵的初等变换和初等矩阵 27 矩阵的秩 28 分块矩阵,21 矩阵的概念,排成的一个m行n列的数表,称为一个m行n列矩阵，简称为mn矩阵。,定义 由mn个数,例如,矩阵常用的记号：,大写英文字母A,B,C,A24=,(aij)33=,(aij),Amn,(aij)mn,特别地,当m=1时，,当n=1时，,当m=n=1时，,可视为普通数 来处理,当m=n时，,称为零矩阵，记为 或 O,当,时,对n阶方阵A=(aij),若：,即,对矩阵A=(aij)，称(-aij)为矩阵

2、A的负矩阵，记为 -A,即,矩阵概念与行列式概念的区别：,一个行列式 代表一个数,一个矩阵 代表一个数据表格,例如,而 表示一个数表,2、二者记号不同：,行列式用 ,矩阵用（ ）。,3、行列式的行数和列数必须相同，而矩阵的行数与列数可以不同。,例 对mn 线性方程组,把方程组中系数 及常数项 按原来次序取出， 作一个矩阵,m(n+1),（*）,则线性方程组（*）与 之间的关系是1-1对应的,B,把未知量的系数按原来次序拿出来作一个矩阵,mn,A,系数矩阵,把常数列按原来次序拿出来作一个矩阵,m1,常数矩阵,把未知量拿出来作一个矩阵,n1,X,未知量矩阵,22 矩阵运算,定义 若两个有相同行数和

3、相同列数的矩阵,满足,则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B.,例如：若 且A=B,则有c=0; a=-1; b=2; d=3.,一、矩阵的加法,定义 由矩阵A=(aij)mn与B=(bij)mn的各对应元素相加而得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和。记为：A+B,即,简记为：,例如,矩阵加法的性质：,（1）A+B=B+A,（2）(A+B)+C=A+(B+C),（3）A+O=A,（4）A+(-A)=A-A=O,矩阵的减法：,例如,二、数与矩阵的乘法（简称数乘）,定义 由常数k乘以矩阵Amn的每个元素而得到的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，简称数乘。记为kA,数乘的性质： 设A,B,O均为mn矩阵，k

4、,t为常数, 则 (1) k(A+B)=kA+kB (2) (k+t)A=kA+tA (3) (kt)A=k(tA)=t(kA) (4) 1A=A (5) 0A=O (6) 若k0, AO,则 kAO,例2 求矩阵X，使3A+2X=3B。其中,解 由 3A+2X=3B 解得:,2X=3B - 3A,即,所以,三、矩阵与矩阵的乘法,定义 设矩阵 ， ，由元素,构成的矩阵 称为矩阵A与矩阵B的乘积。记为C=AB.,关于矩阵乘法的说明：,1.只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相同时， AB才有意义.,2.C的行数=第一个矩阵A的行数,C的列数=第二个矩阵B的列数,例3 设,求AB.,解,注

5、：此题BA无意义,例4 设 ,求 AB.,解,注 此题BA有意义,BA是一个数,例5 , ,求AB.,解,注：此题BA有意义,但AB与BA的行列数不同,例6 设 ,求AB.,解,注：(1)此题BA有意义,BA与AB行列数相同,但ABBA,(2) BA=O, 但 BO,且AO,例7 设 求：AB,AC.,解,注：此题AB=AC, 且AO,但BC,矩阵乘法与实数乘法的比较： (1) 实数乘法满足交换率。即ab=ba 矩阵乘法不满足交换率。即 ABBA (2) 实数乘法满足消去率。 即：若ab=ac,且a0,则有b=c, 矩阵乘法不满足消去率 即：由 AB=AC,且AO,不能得出B=C. (3)在实

6、数乘法中，若ab=0,可推出a=0或b=0, 在矩阵乘法中，由AB=O不能推出A=O或B=O.,矩阵乘法的性质： (1) A(BC)=(AB)C (2) t(AB)=(tA)B=A(tB) (3) (A+B)C=AC+BC (4) A(B+C)=AB+AC (5) AE=EA=A,注意：在性质（5）中，若A是mn矩阵，则AE中 的E为En,而EA中的E为Em,对mn线性方程组,取,，,，,所以线性方程组,可表示为：,定义 设A为n阶方阵，k为正整数，k个A的连乘积 称为方阵A的k次幂。记为：Ak,即,例如：,则,方幂的性质：,注意：,（1）只有当A为n阶方阵时，才有方幂的概念。,（2）（AB)

7、k Ak Bk,） Ak和Bk可能无意义,）由于乘法不满足交换率,注意： 中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的元素,四、矩阵的转置 定义 将矩阵A的行列互换得到的矩阵，称为矩A的转置矩阵，简称转置。,即若,则,转置的性质：,（1）,（2）,（3）,（4）,例如：,则,，一般情况下,例8 设矩阵,求,解法一：,解法二：,二、矩阵的加（减）法,三、数与矩阵的乘法（简称数乘）,矩阵的运算小结,一、矩阵相等,4、矩阵的乘积：设矩阵 ， ，,注意：(1) 矩阵乘法不满足交换率，即：ABBA (2) 矩阵乘法不满足消去率，即：由AB=AC， 且AO,不能得出B=C。 (3) 在矩阵乘法中，由AB=O不

8、能推出A=O或 B=O,这里：,5、方阵的幂：设A为n阶方阵，k为正整数,注意：,(1)只有当A为n阶方阵时，才有方幂的概念。,(2)(AB)kAkBk,6、矩阵的转置,即 若,mn,则,nm,注意：(1) 中第i行第j列的元素=A中第j行第i列的 元素,(2)一般情况下,2.3 几种特殊矩阵,一、对角矩阵,定义 主对角线以外的元素都是0的方阵称为对角矩阵， 即,例如，,均为对角矩阵。,对角矩阵的性质： 性质1 两个同阶对角矩阵相加仍为对角矩阵。 性质2 数乘对角矩阵仍为对角矩阵。 性质3 两个同阶对角矩阵的乘积仍为对角矩阵，且它们的乘积可交换。 性质4 对角矩阵的转置矩阵仍为原对角矩阵，即,

9、思考题 单位矩阵、数量矩阵是对角矩阵吗？ 对角矩阵的主对角线上的元素都相等吗？ 主对角线上可以有零元素吗？,定义 主对角线以下的元素都是0的方阵称为上三角矩阵，即,二、三角矩阵,主对角线上方的元素全是0的n阶矩阵，称为n阶下三角矩阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵。,三角矩阵具有下列性质： 性质1 上（下）三角矩阵的和，数乘，乘积仍是上（下）三角矩阵。 性质2 上（下）三角矩阵的转置矩阵是下（上）三角矩阵。,定义 设A是实的n阶方阵，若 ，则称A为实对称矩阵。,，B不是对称的,例如,，A是实对称矩阵的,三、对称矩阵,例8 若A 实对称矩阵，证明：对于任意n阶方阵P, 必为实对称矩阵.,证明,定义

10、 由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式，称为方阵A的行列式。,记为,即：对,2.4 方阵的行列式,方阵的行列式性质： 设A、B是n阶方阵，t是常数，则,（1）,（2）,（3）,4.,注意：,2. 只有当A、B是同阶方阵时， 才成立.,有意义，但 和 无意义）,3. 当A、B是同阶方阵时，有,(虽然ABBA),1、只有当A是方阵时，才有A的行列式,课堂练习,2、已知A是三阶方阵，且 ， ，求,（1）若矩阵A的行列式 ，则必有A=0,（2）若矩阵A的行列式 ，则必有A=E,（3）若n阶方阵A、B、C满足A=B+C，则必有,反例,反例,1、判断题,2. 当A、B是同阶方阵时，有,方阵的行列式小

11、结,对方阵,3.,注意： 只有当A是方阵时，才有A的行列式,（虽然ABBA),；,一 背景,二 逆矩阵的概念与性质,三 应用,四 小结,2.5 可逆矩阵,数的乘法运算中的，,在数的运算中，当数a时，有,则 称为 的倒数，,在一个矩阵 ，有,在矩阵的运算中，,一、背景,1、数,2、矩阵,则矩阵称为的可逆矩阵，,（或称为a的逆）；,单位阵相当于,那么，对于矩阵，如果存,称为 的逆阵.,3、线性方程组求解,上述线性方程组可表示为,方程组的解,例1,的逆矩阵记作,二、逆矩阵的概念和性质,1.定义,对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得,则称矩阵 是可逆的，,是 的逆矩阵.,并把矩阵 称为 的逆矩阵

12、.,若设 和 是 可逆矩阵，,则有,所以 的逆矩阵是唯一的,即,说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.,证明,于是,例2,设,求 的逆.,解,设,则,2、伴随矩阵,定义 行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下矩阵,性质,称为矩阵A的伴随矩阵.,例4 求,的伴随矩阵A*.,解,同理 A13=1， A21=-2， A22=1， A23=-1， A31=-1， A32=2， A33=1,因此A的伴随矩阵,三阶矩阵A的伴随矩阵A*为,，,证明,，使得,两边求行列式，有,定理1,若矩阵 可逆，则,若矩阵 可逆，则即有,定理2,矩阵 可逆的充要条件是 ，且,证明,因为矩阵与其伴随矩阵

13、有,，故有,又因为,所以，按逆矩阵的定义，即有,3.判别矩阵可逆的条件,解 因为,=20，,所以A可逆.,又因为,10,7,-5,-2,-2,2,2,1,-1,，,所以,A-1,|A|=,伴随矩阵法,例6 讨论：,提示：,=a11a22-a12a21，,(2)如何求对角矩阵的逆矩阵。,(1),(2),推论,所以 可逆.,例7,可逆，并求它们的逆矩阵.,证明,A+2E可逆自己证明。,4.可逆矩阵的性质,(3)若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1.,(2)若A可逆，数l0，则lA 可逆，,且(lA )1l1A1.,(1)若A可逆，则A1也可逆，,且(A1)1A.,(4)若

14、A可逆，则AT也可逆，,且(AT )1(A1)T .,(5) |A1|=|A|1 .,特别注意: A，B可逆，A+B未必可逆.即使A+B可逆，,但一般地,例如,显然A、B可逆，,但因为 |A+B|=0,故A+B不可逆.,当A=B时，,，而不是,线性方程组,的矩阵形式为,其中,当|A|0时，A-1存在，,AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b,这就是线性方程组解的矩阵表达式.,三、应用-用逆矩阵求解线性方程组,例8,解,例9,解矩阵方程,解,为什么？,注：求解矩阵方程,解,X,XA-1CB-1,为什么？,逆矩阵的概念及运算性质.,逆矩阵的计算方法：,逆矩阵 存在,四、小结,定义法,初等变换法（

15、后面介绍）,伴随矩阵法,2.6 矩阵的初等行变换和初等矩阵,一、矩阵的初等行变换,对矩阵进行下列变换称为矩阵的初等行变换：,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,定义 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵：,二、初等矩阵的概念,例1 以下矩阵是否初等矩阵?,对换矩阵：（，）,倍加矩阵：(1),不是初等矩阵,2.初等矩阵均可逆。,1.初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵.,三、初等矩阵的性质,四、初等矩阵的应用,例2 注意下列矩阵运算：设,定理1 设A是一个m n矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m 阶初等矩阵.,初等行变换,初等矩阵,对换变换：（，）,倍乘变换3,倍加变换(3),定理2 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵,由此得到求逆矩阵的另一种方法：初等行变换法。,例3,解,即,初等行变换,例5,解,小 结,2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,2.7 矩阵的秩,矩阵的秩是反映矩阵本质属性的重要概念之一。为介绍矩阵的秩的概念，首先给出阶梯形矩