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1、高考数学抛物线复习教案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距：通径：过焦点垂直于轴的弦长为。顶点平分焦点到准线的垂线段：。焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。焦半径为直径的圆：以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这
2、样的圆的公切线是准线。3抛物线标准方程的四种形式：4抛物线的图像和性质：焦点坐标是：，准线方程是：。焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，焦点弦长公式：过焦点弦长抛物线上的动点可设为P或或P5一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk>0时开口向右x=k/4到焦点的距离等于到准线x=k/4的距离k<0时开口向左x2=kyk>0时开口向上y=k/4到焦点的距离等于到准线y=k/4的距离k<0时开口向下抛物线的定义：例1：点m与点F的距离比它到直线l：x6=0的距离4.2，求点m的轨迹方程分析：点m到点F的距离与到直线x=4的
3、距离恰好相等，符合抛物线定义答案：y2=16x例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长分析：这是灵活运用抛物线定义的题目基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和解：如图831，y2=4x的焦点为F，则l的方程为y=x1由消去y得x26x+1=0设A，B则x1+x2=6又A、B两点到准线的距离为，则点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。例3:已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点是F求它的标准方程；已知抛物线方程为y=mx2求它的焦点坐标和准线方程；求经过
4、P点的抛物线的标准方程；分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值特别是题，要先化为标准形式：，则题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解答案：，x2=12y，；y2=x或x2=8y例4求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）；（2）焦点在直线x2y4=0上分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论解：（1）设所求的抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p0），过点（3，2），4=2p（3）或9=2p
5、226;2p=或p=所求的抛物线方程为y2=x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，抛物线的焦点为（4，0）或（0，2）当焦点为（4，0）时，=4，p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为（0，2）时，=2，p=4，此时抛物线方程为x2=8y所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=8y，对应的准线方程分别是x=4，y=2常用结论过抛物线y22px的焦点F的弦AB长的最小值为2p设A，1B是抛物线y22px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2p2设A，B是抛物线y22px上的两点，o为原点，则oAoB的充要条件是直线AB恒过定点例5
6、：过抛物线y2=2px的顶点o作弦oAoB，与抛物线分别交于A，B两点，求证：y1y2=4p2分析：由oAoB，得到oA、oB斜率之积等于1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系又A、B是抛物线上的点，故、满足抛物线方程从这几个关系式可以得到y1、y2的值证：由oAoB，得，即y1y2=x1x2，又，所以：，即而y1y20所以y1y2=4p2弦的问题例1A,B是抛物线y2=2px上的两点，满足oAoB求证：A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；直线AB经过一个定点作omAB于m，求点m的轨迹方程解：设A,B,则y12=2px1,y22=2px2,y12y
7、22=4p2x1x2,oAoB,x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2,y1y2=4p2直线AB的斜率k=,直线AB的方程为yy1=,即yy1y2=2px,由可得y=,直线AB过定点c解法1:设m,由知y=,又ABom,故两直线的斜率之积为1,即•=1由,得x22px+y2=0解法2:由omAB知点m的轨迹是以原点和点为直径的圆立即可求出例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为m，求点m到y轴的最短距离，并求此时点m的坐标解：如图，设A,B,m,则x=,y=,又设点A，B，m在准线:x=1/
8、4上的射影分别为A/,B/,m/,mm/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x==等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k由得16k2x28x+k2=0依题意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2,此时x=y=即m,N例3设一动直线过定点A且与抛物线相交于B、c两点,点B、c在轴上的射影分别为,P是线段Bc上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析:设,由得又代入式得由得代入式得:由得或,又由式知关于是减函数且,且所以Q点轨迹为一线段:例4已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且
9、AB的垂直平分线恒过定点S求抛物线方程;求面积的最大值解:设,AB中点由得又得所以依题意,抛物线方程为由及,令得又由和得:例5定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为m，求点m到y轴的最短距离，并求此时点m的坐标解：如图，设A,B,m,则x=,y=,又设点A，B，m在准线:x=1/4上的射影分别为A/,B/,m/,mm/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x==等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k由得16k2x28x+k2=0依题意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2,此时x=y=即m,N
10、综合类例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点m，如何证明直线mQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出m、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则mQ/x轴，为此，将方程联立，解出直线oP的方程为即令，得m点纵坐标得证由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐思路二：利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为、，那么”来证设、，并从及中消去x，得到，则有结论，即又直线oP的方程为，得因为在抛物线上，所以从而这一证法运算较小思路三：直线mQ的方程为的充要条件是将直线mo的方程和直线QF的方程联立，它的解（x,y）就是点P的坐标，消
11、去的充要条件是点P在抛物线上，得证这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点o的弧AB上一点，求RAB的最大面积分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可解：设AB所在的直线方程为将其代入抛物线方程，消去x得当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，RAB的面积有最大值设直线l方程为代入抛物线方程得由得，这时它到AB的距离为RAB的最大面积为例3直线过点，与抛物线交于、两点，P是线
12、段的中点，直线过P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数；（2）求出的定义域及单调区间分析：过点P及F，利用两点的斜率公式，可将的斜率用k表示出来，从而写出，由函数的特点求得其定义域及单调区间解：（1）设的方程为：，将它代入方程，得设，则将代入得：，即P点坐标为由，知焦点，直线的斜率函数（2）与抛物线有两上交点，且解得或函数的定义域为当时，为增函数例4如图所示：直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦cD，直线l不是cD的垂直平分线分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛
13、盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到c、D距离相等来得矛盾结论证法一：假设直线l是抛物线的弦cD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线cD的斜率存在，且不为0设c、D的坐标分别为与则l的方程为直线l平分弦cDcD的中点在直线l上，即，化简得：由知得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦cD的垂直平分线证法二：假设直线l是弦cD的垂直平分线焦点F在直线l上，由抛物线定义，到抛物线的准线的距离相等，cD的垂直平分线l：与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略例5设过抛物线的顶点o的两弦oA、oB互相垂直，求抛物线顶点o在AB上射影N的轨迹方程分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点；待求得的关系后再用动点坐标来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算解法一：设则：，即，把N点看作定点，则AB所在的直
