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1、第七讲 拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系 序列的付里叶变换 离散系统的系统函数及频率响应,2.5 拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系,图 1-34 S平面与Z平面多值映射关系,s=+j,z=re j,r=eT,=T,2.5.1 拉普拉斯变换与序列的Z变换,左单位圆内 右单位圆外 虚轴单位圆,2.5.2 连续信号的傅氏变换与序列的Z变换,采样序列在单位圆上的Z变换，就等于其理想采样信号的傅里叶变换 （频谱）。,2.5.3 序列的傅氏变换与Z变换,数字频率是模拟角频率对采样频率fs的归一化值.,单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换,数字频谱是其被采样的连续信号频谱周期延拓后再对采样频率的归一化。,
2、因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，用ej代替z，得到序列傅里叶变换的定义为,序列的傅里叶反变换公式,其收敛条件为,2.6 序列的傅氏变换,图1-35 序列及其傅里叶变换,表2-3 序列傅里叶变换的主要性质,表2-3 序列傅里叶变换的主要性质,表2-4 傅里叶变换对,2.10 离散时间系统的频域分析（域和Z域）,在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h(n)来表示。对于一个给定的输入x(n)，其输出y(n)为,对等式两端取Z变换，得,则,H(z)定义为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响应的Z变换，即,在单位圆上(z=ej)的系统函数就是系统的频率响应H(ej)。,因
3、果系统 单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统， 因果系统的系统函数H(z)具有包括z=点的收敛域，即,稳定系统 一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为h(n)必须满足绝对可和条件，即,而Z变换的收敛域由满足 的那些z值确定，因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1，H(ej)存在。,因果稳定系统 因果稳定系统是最普遍、最重要的一种系统，它的系统函数H(z)必须在从单位圆到的整个Z域内收敛，即,也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。,2.10.2 系统函数和差分方程的关系 一个线性时不变系统也可以用常系数线性差分方程来表示， 其N阶常系数线
4、性差分方程的一般形式为,若系统起始状态为零，可以直接对上式两端取Z变换， 利用Z变换的线性特性和移位特性可得,系统函数为,系统函数分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。将其分别进行因式分解，可得,z=ck是H(z)的零点,z=dk是H(z)的极点,例 2-23 已知系统函数为,2|z|,求系统的单位脉冲响应及系统性质。 解 系统函数H(z)有两个极点z1=0.5, z2=2。 从收敛域看，收敛域包括点，因此系统一定是因果系统。 但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。,由于2nu(n)项是发散的， 可见系统确实是不稳定的。,例 2-24 系统函数不变， 但收敛域不同。,求系
5、统的单位脉冲响应及系统性质。 解 收敛域包括单位圆但不包括点，因此系统是稳定的但是非因果的。由系统函数的Z反变换可得,由于存在2nu(-n-1)项， 因此系统是非因果的。,2.10.3 系统频率响应的意义 对于稳定系统，如果输入序列是一个频率为的复正弦序列： x(n)=ejn -n 线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，则其输出为,式中:,因此y(n)=ejnH(ej) 上式表明，当线性时不变系统输入是频率为的复正弦序列时，输出为同频复正弦序列乘以加权函数H(ej)。显然，H(e j)描述了复正弦序列通过线性时不变系统后，幅度和相位随频率的变化。换句话说，系统对复正弦序列的响应完全由H(e
6、j)决定。故称H(ej)为线性时不变系统的频率响应。线性时不变系统的频率响应是其单位脉冲响应的傅里叶变换。,线性时不变系统的频率响应H(ej)是以2为周期的连续周期函数, 是复函数。它可以写成模和相位的形式,式中，频率响应的模|H(ej)|叫做振幅响应（或幅度响应）， 频率响应的相位arg|H(ej)|叫做系统的相位响应。 系统频率响应H(ej)存在且连续的条件是h(n)绝对可和， 即要求系统是稳定系统。,例 2-27 设输入为,的响应为,对 的响应为,根据线性系统的叠加原理可知系统对正弦输入A cos(0n+)的响应为,如果h(n)是实序列，则可证明H(ej0)满足共轭对称条件，即,因此有:
7、,可得响应为,即,从这个例子可以看出，当系统输入为正弦序列，输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ej)|加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。这正是线性时不变系统的基本特性。正因如此，信号和系统的频域（傅里叶变换）表示法在离散线性系统中是很有用的。,利用傅里叶变换性质得到 Fy(n)=Fx(n) * h(n) 即 Y(ej)=X(ej)H(ej) 对于线性时不变系统，其输出序列的傅里叶变换等于输入序列的傅里叶变换与系统频率响应的乘积。,|Y(ej)|=|H(ej)|X(ej)| argY(ej)=argH(ej)+argX(ej),例 2-28 设有一系统，其输入输出关
8、系由以下差分方程确定,设系统是因果的。 （1） 求该系统的单位脉冲响应； （2） 由(1)的结果，求输入x(n)=ejn的响应。,解 （1） 对差分方程两端分别进行Z变换可得,系统函数：,系统函数H(z)仅有一个极点，z1=1/2，因为系统是因果的，故H(z)的收敛域必须包含，所以收敛域为|z|1/2。 该收敛域又包括单位圆， 所以系统也是稳定的。,对系统函数H(z)进行Z反变换，可得单位脉冲响应为,或,（2） 解法一：,系统的频率响应为,由于系统是线性时不变且因果稳定的，故当输入x(n)=ejn时，应用公式（1-125），可得输出响应为,解法二：,2.10.4 频率响应的几何确定法,频率响应
9、的幅度函数就等于各零点至ej点向量长度之积除以各极点至ej点向量长度之积，再乘以常数b0/a0。而频率响应的相位函数等于各零点至ej点向量的相角之和减去各极点至ej点向量相角之和。当频率由0到2时，这些向量的终端点沿单位圆反时针方向旋转一圈，从而可以估算出整个系统的频率响应来。,频率响应的几何表示法,例 2-29 设一个因果系统的差分方程为 y(n)=x(n)+ay(n-1) |a|1, a为实数 求系统的频率响应。 解 将差分方程等式两端取Z变换，可求得,单位脉冲响应为,该系统的频率响应为,幅度响应为,相位响应为,一阶离散系统的各种特性,例 2-30 设系统的差分方程为,这是M-1个单元延时
10、及M个抽头相加所组成的电路，常称之为横向滤波器。试求其频率响应。 解 令x(n)=(n)，将所给差分方程等式两端取z变换，可得系统函数为,H(z)的零点满足zM-1=0, 即,这些零点等间隔地分布在单位圆上，其第一个零点为z0=1 (i=0)， 它正好和单极点zp=1相抵消，所以整个函数有(M-1)个零点 ，而在z=0处有(M-1)阶极点。 当输入为x(n)=(n)时，系统只延时(M-1)位就不存在了， 故单位脉冲响应h(n)只有M个值，即,图 1-39 横向滤波器的结构与特性 （a） 零-极点分布; （b） 单位脉冲响应; (c) 幅度响应; (d) 相位响应; (e) 横向网络结构图,M=
11、6,2.10.5 有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR） 对于一个N阶的系统函数，它的一般表示式为,该系统函数是z-1的有理函数，如果它仅仅具有一阶极点，那么它通常可以展开成如下形式:,H(z)对应的单位脉冲响应为,在线性时不变系统中，分成两类不同的系统：若系统的单位脉冲响应延伸到无穷长，称之为“无限长单位脉冲响应系统”，简写为IIR系统。若系统的单位脉冲响应是一个有限长序列， 称之为“有限长单位脉冲响应系统”，简称为FIR系统。,分母多项式除a0外至少有一个系数ak0，则在有限Z平面0|z|就会出现极点，IIR系统。,H(z)在有限Z平面0|z|没有极点，只存在零点。FIR系统,有反馈环路,无反馈环路,递归型结构,非递归型,例 2-25 考虑一个因果系统，其输入输出满足差分方程 y(n)=0.5y(n-1)+x(n) 显然， 其系统函数为,因系统是因果系统，故其收敛域为|z|0.5。该系统的单位脉冲响应为,因h(n)为无限长，故为IIR系统。,例 2-26 一个FIR系统的单位脉冲响应为,则系统函数为,(1-22),其零点,k=0, 1, , (N-1),z=a处有一极点。假设a是正实数，显然z=a的极点被z=a的零点抵消。若N=8，则极-零点图如图所示。其差分方程为线性卷积，即,
