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1、第五章 假设检验,引言：与点估计一样，假设检验也是一种重要的统计推断方法。在点估计中，我们利用样本信息给出待估参数的一个估计值；而假设检验则是先对总体的未知参数提出某种假设，然后再利用样本信息验证此假设是否成立。 例如：食盐工厂要求食盐包装是500克一包，在一批产品生产出来之后，先要通过抽样检验是否是500克一包，只有确认了是500克一包之后才能出厂，否则只好收回重包。 这个问题也就是利用样本信息检验假设 H0 ： =500是否成立（若用X表示食盐重量，假设XN(,2) ) 。,一、假设检验的定义,假设检验就是先对总体的未知参数提出某种假设，然后再利用样本信息验证此假设是否成立。,为了说明上述
2、原则，我们举个例子。 例子：某厂有产品200件，按国家规定次品率p不超过1%才能出厂。今在其中任抽5件产品发现有次品，问这批产品能否出厂？,若H0成立，则200件产品中至多含2件次品。,二、 假设检验的原理,实际推断原则：小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。,解：假设H0 ：,任抽的5件产品中不含次品的概率p为：,由此可见在任抽的5件产品中不含次品的概率大于0.95,而含次品的概率小于0.05,这就是说在任抽的5件产品中含次品是小概率事件。,根据实际推断原则：小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。如果发生了，我们就认为是不合理的。现在的问题是小概率事件在一次试验中竟然发生了，我们认为
3、这是不合理的,而导致这种不合理现象发生的原因在于假设H0 ，因而我们认为假设H0 是不可接受的，故这批产品不能出厂。,由于我们是根据小概率事件在一次试验中是否发生作出拒绝假设H0 或是接受假设H0 的，而小概率事件在一次试验中也不是绝对不发生,因而我们在利用假设检验进行统计推断时会犯两方面的错误。,P接受H0|H0不真=,三、两类错误,（1）第一类是“弃真”错误,P拒绝H0|H0为真=,若H0为真, 由于在一次试验中小概率事件发生了，我们就认为这是不合理的，从而拒绝假设H0 ，所以弃真概率即为小概率事件发生的概率 。,（2）第二类是“纳伪”错误,在实际应用中，这两类错误都会带来损失，我们自然希
4、望犯这两类错误的概率越小越好，但这又是不可能的。由于犯第二类错误的概率计算较复杂 ，通常我们总是控制犯第一类错误的概率，这种只控制犯第一类错误的概率而不考虑犯第二类错误的检验称为显著性检验，数称为显著性检验水平。,由此可知:显著性检验水平数即为小概率事件发生的概率 。,例子： 以医生误诊为例，我们看一下这两类错误哪一个更严重些. H0 ：有病 H1: 无病 医生犯第一类错误： P拒绝H0|H0为真= “此时有病判无病” 医生犯第二类错误： P接受H0|H0不真= ， “此时无病判有病”,弃真错误的概率即为小概率事件发生的概率,例如:一个盒子里装有99个红球和1个白球 H0 :红球多(H0为真)
5、 犯第一类错误是指:P拒绝H0|H0为真=， 如若摸到一只白球(小概率事件发生,其概率为0.01), 我们说“白球多”,这时我们所犯的是第一类错误，而犯第一类错误的概率恰是小概率事件出现的概率0.01。,说明：,2 一个正态总体参数的假设检验,一、均值的假设检验,二、方差2的假设检验,1.方差2已知的情况,2.方差2未知的情况,一、均值的假设检验,关于总体平均值的假设有三种提法:,第一种类型的假设检验称为双边检验,第二、三种类型的检验称为单边检验., H0 := 0 H1 : 0 H0 := 0 H1 : 0 H0 := 0 H1 : 0,假设检验的思想和方法,设该天包装机包装的糖的袋重为X，
6、则 XN(,2),讨论的问题为是否等于额定标准值0=500.,作假设,H0: = 0,H1: 0,原假设,备择假设,判定假设的正确性,由于样本均值 是总体均值的无偏估计，如果H0正确，则,应较小,如果,较大，则有理由,怀疑H0的正确性，从而拒绝H0。,H0与H1是对立的，拒绝H0意味着接受H1.,由于当H0为真（即正确）时，有,故可以把对 的大小的衡量归结为对 的大小的衡量。,即当,较小时，接受H0,当,较大时，拒绝H0,从而接受H1.,何为 较小？何为 较大？,问,答,选择适当的正数k，,时为较小，从而接受H0,时为较大，从而拒绝H0,拒绝域,选择的k应使犯两类的概率越小越好！,问,正数k如
7、何选择？,答,不太好办！,不管k如何选择，我们作出决断的依据都将是由样本得到的信息，由于样本的随机性，所以，下列错误在所难免：,两类错误：,第一类：,客观上H0为真，但作出了拒绝H0的决断。,第二类：,客观上H0为假，但作出了接受H0的决断。,弃真错误,纳伪错误,若k选择得小一点，,则犯第一类错误的可能性增大。,若k选择得大一点，,则犯第二类错误的可能性增大。,可以证明，在样本容量一定的条件下，犯两类错误的可能性不能同时减小。即减小了犯第一类错误的可能性，则犯地二类错误的可能性就会增大，反之亦然。,在实际应用中，只控制发生第一类错误的概率在较小的范围之内，即,P拒绝H0H0为真,为较小的正数，
8、一般取=0.01=0.05等,P拒绝H0H0为真,由于当H0为真（即正确）时，有,在引例中，取=0.05,讨论包装机工作是否正常？,结论：接受H0,假设检验的一般步骤:,（1）提出假设,H0: = 0,H1: 0,（2）选定检验统计量：,（3）确定拒绝域的形式：,（4）根据给定的显著水平和检验统计量的分布，确定临界值点k.,临界值点,拒绝域,（5）计算检验统计量的观察值,（6）下结论,接受H0,拒绝H0,2 一个正态总体参数的假设检验,一、均值的假设检验,二、方差2的假设检验,1.方差2已知的情况,2.方差2未知的情况,一、均值的假设检验,关于总体平均值的假设有三种提法:, H0 := 0 H
9、1 : 0 H0 : 0 H1 : 0 H0 : 0 H1 : 0,第一种类型的假设检验称为双边检验,第二、三种类型的检验称为单边检验., H0 := 0 H1 : 0 H0 := 0 H1 : 0 H0 := 0 H1 : 0,1.方差2已知的情况, H0 := 0 H1 : 0 的情况上节引例中已说明, H0 := 0 H1 : 0,情况与类似，现举例说明,例1 某工厂产品寿命XN(,2),正常情况下0=40, 0=2,现技术革新后,随机取25只,测得寿命均值,设革新后方差不变,问革新后产品质量较以前是否显著提高?(=0.05),分析: 何为质量显著提高？假设如何提？,技术革新后的寿命均值
10、40为质量显著提高. 能否设 H0 : =40 ,H1:40 ? 能否设 H0 : =40 ,H1:40 ?,不能!,此时, 不应过大(可以是负的),解:,H0 : =40 ,H1:40,由于当H0为真（即正确）时，有,因而,当,较大时拒绝H0,等价为,较大时拒绝H0,从而拒绝域的形式为,拒绝域,P拒绝H0H0为真=,0=40, 0=2, =0.05,Z0.05=1.645,U1.645,拒绝H0,从而接受H1,即在显著水平= 0.05下认为革新后的质量有显著提高.,特别提醒同学们注意,下列几点是非常重要的:,1.假设的提法; 2.选择检验统计量; 3.确定拒绝域的形式., H0 := 0 H
11、1 : 0 的情况类似.看课本 P143列表,以上方法称为U检验法,2.方差2未知的情况,与方差2已知的情况类似, H0 := 0 H1 : 0 H0 : =0 H1 : 0 H0 : =0 H1 : 0,假设提法,检验统计量,拒绝域,此方法称为T检验法,参看P143表,例1 在正常情况下,某工厂生产的灯泡的寿命X服从正态分布,今测得10个灯泡寿命为: 1490 1440 1680 1610 1500 1750 1550 1420 1800 1580 。问能否认为该工厂生产的灯泡寿命0=1600(=0.05)? (注：此题是第141页例3）,解 在水平 =0.05下检验假设 H0 : = 0=
12、1600 是否成立.由于方差未知,所以我们选统计量:,Tt(n-1) 即Tt(9),由t分布表查得t0.025=2.262 ,即认为该工厂生产的灯泡寿命为 = 1600,这也就是说,如果H0成立,则事件,在水平=0.05,下为小概率事件.又由样本得:,所以接受H0.,这种检验方法称为 t 检验法.,问题:区间估计与假设检验有何关系?,区间估计与假设检验的提法虽然不同,但解决问题的途径是相通的.现以2未知关于的区间估计与假设检验为例说明. 设置信度为1,即检验水平为,则,对,查t分布表使,即,(a),得 的置信区间为,这是区间估计,假设H0 : = 0 .若H0为真,则,根据,查t分布表,找到临界值,如果,也即以1的概率接受H0,即= 0.从而得在,则拒绝假设H0.,由此得H0的接受域为:,也即,内就认为H0为真。,比较式与式,说明假设检验的接受域正是区间估计的置信区间.它们出于同一式(a)式.故区间估计与假设检验的统计处理是相通的.但它们不完全是一回事.,区间估计是给出了未知参数的一个范围式.,假设检验是给了标准,从两个或多个假设中选择一个.因此给出标准(一般为已知数)就可以进行选择,这用假设检验.不给标准就只能得参数的置信区间.,
