系统的能控性和能观测性

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1、能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。,第3章 线性控制系统的能控性与能观测性,3.1 能控性和能观测性的定义,所谓状态空间描述，就是用状态方程和输出方程来描述系统。状态方程描述了系统内部变量与外部控制作用的关系；输出方程描述了系统内部

2、状态变量与输出变量之间的关系。由此可知，状态空间描述从本质上提示了系统输入输出关系与内部结构的内在联系，这为深入研究系统内部结构提供了可能性。,能控性：是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。能观测性：是指由系统的量测输出向量y(t)识别状态向量x(t)的测辨能力，它回答了能否通过y(t)的量测值来识别x(t)的问题。当给定了初始状态x(t0)以及控制作用u(t)后，系统在任何时刻的状态x(t)就唯一地确定下来。,对于给定的系统，当外加控制及作用点确定之后，有些状态分量能受外加控制作用u(t)

3、的控制，有些状态分量可能不受u(t)的控制。能受u(t)控制的状态称为能控状态，不能受u(t)控制的状态称不能控状态。,同样，对于给定的系统，有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态不能通过y(t)确定下来。能够通过y(t)而确定下来的状态称为能观测状态，不能通过y(t)而确定下来的状态称为不能观测状态。,设计一个线性系统，总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。同时也希望通过y(t)能完全确定系统的运动状态，以便实现状态反馈控制。总之，能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。现代控制理论的许多基本问

4、题，如最优控制和最优估计，都是以能控性和能观测性为存在条件的。,二. 对能控性和能观测性的直观讨论,系统,黑箱,状态,每一个状态变量 运动都可由输入u(t)来影响和控制，而由任意的初始状态达到系统原点状态能控。 状态 的任意形式的运动均可由输出完全反映状态能观测。,例1 系统状态空间描述为：,例2 系统的原理电路图,|,|,|,三 能控性定义： 考虑线性时变系统的状态方程：,从上述定义看出： （1）状态转移的轨迹没加以限制和规定； （2）输入的每个分量的幅值不加以限制，但要求所有分量均是在J 上平方可积的。 （3）上述定义是对J中的一个取定时刻 来定义的，对时变系 统，能控性与 有关，而对定常

5、系统，能控与否与 无关。,（4）由非零初始状态转移到零状态，为状态能控。如若由零初始状态 转移到非零状态，则为状态能达的。对线性定常系统能控性和能达性是等价的，但对时变和离散系统，则是不等价的。 （5）系统为不完全能控的情况是一种“奇异”的情况，若将系统中组成元件的参数值作很小变动，可使其成为可控的。,四 能观测性定义,五 能控性与能观测性基本性质 1 能控性基本性质： 1）对于时变系统而言，能控性与 的选择有关，对于定常系统而言，能控性与 的选择无关。 2）能控性具有不变性。因为能控性是系统的一个基本属性，它不受状态作任何非奇异变换的影响。 3） 系统在 区间上完全能控时，则其非零能控初始状

6、态 必为：,4） 若系统在 区间上完全能控，对于 ，则系统在 区间上也完全能控（传递性）。,5）扰动作用f(t)不改变系统的能控性。,6） 对于系统（1），如果 在 区间上是能控的，则 在 区间上也必须是能控的。这里 为任意非零实数。 证明如下：,2 能观测性基本性质 1） 对于能观测性而言，能观性与 的选择有关。对于定常系统而言，能观性与 的选择无关。 2） 能观性具有不变性。它不受状态作任何非奇异变换的影响。 3） 系统在 区间上完全能观时，则其能观状态 必为:,4）若系统在 区间上完全能观，对于 ，则系统在 区间上也完全能观。 5）控制作用u(t)和扰动作用f(t)均不能改变系统的能观性

7、。,一 线性系统的能控性判据 线性定常系统状态方程,1 格拉姆矩阵判据 线性定常系统（3）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵。,3.2线性连续时间系统的能控性判据,状态的能控性 线性定常系统的状态方程 式中：,定义：如果对系统施加一个无约束的控制信号u(t)，在有限的时间间隔tott1内，将系统的任一初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)，那么，称此系统的状态在t = to时是完全能控的，简称系统的状态是能控的。,不失一般性，设终止状态为状态空间原点即x(tf)=0，并设初始时刻为零，即 to=0，系统状态方程的解为：,利用Cayley-Hamilt

8、on定理，可将 表示为A的有限项的形式，即,令,它是输入信号的函数，则,显然，当给定x(o)后，只有在n(nm)矩阵 满秩时，才能从上式解出 ，进而求得相应的输入信号u(t)。,得：使线性定常系统状态完全能控的充分必要条件为：矩阵Sc是满秩的，表示成,或者说其中的n个列向量时线性无关的。通常，我们称矩阵,能控性矩阵。,在线性定常系统中，能控性定义中，假设初始时刻t0=0,初始状态为x(0)，而任意终止状态指定为零状态，即x(tf)=0。 反之，若假设x(t0)=0，而x(tf)为任意终止状态时，若存在一个无约束控制信号u(t)，在有限时间区间t0，tf内，能将x(t)由零状态转移到任意终止状态

9、x(tf)，则称系统状态为能达性。 在线性定常系统中，能控性和能达性是可逆的，即能控一定能达，能达也一定能控。而在线性时变系统中，严格的说，能控不一定能达，反之亦然。,判据2 秩判据 线性定常系统（3）为完全控的充分必要条件是,判据3 PBH秩判据 线性定常系统（3）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值,考虑由下式确定的系统：,即Sc为奇异，所以该系统是状态不能控的。,系统为并联型结构，而 是一个与 无关的孤立部分，即它对应的模态 是不能控的，而 是受 影响，即它对应的模态 是能控的，,该系统能控,系统为并联型结构，虽然 与 无直接关系，但它与 有联系的， 却是受控于 的 ， 系统

10、状态完全能控。,2. 线性定常系统的输出能控性,定义 若存在一分段连续的输入信号u(t)，在有限的时间t0,tf内，能把任一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf),则称系统是输出完全能控的。 也就是，在t0,tf时间内，任意y(t0) y(tf)=0,能求出控制u(t).,系统输出完全能控的充分必要条件是，下列矩阵的秩为输出的维数m。,证明：根据系统状态方程的解和输出方程,显然，当给定x(o)后，只有在m(nr+r)矩阵 满秩时， 才能从上式解出 ，进而求得相应的输入信号u(t)。,例 系统为 试分析系统的状态能控性和输出能控性,系统的输出能控和状态能控之间是不等价的。,系

11、统状态不能控 系统输出能控,设,线性变换不改变系统的能控性,其中：,令 则：,线性变换不改变系统的能控性,3.1.2 状态能控性标准型判据（判据二) 定理2：设系统 具有两两相异的特征值 则系统完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线规范形式,中， 不包含元素全为0的行。,例：考察如下系统的能控性：,系统状态能控,系统状态能控,系统状态不完全能控,定理3：设系统 具有重特征值， 则系统状态完全能控的充分必要条件是，经非奇异变换 后的约当规范形,1）若A为每个特征值都只有一个约当块的约当阵时，则系统能控的充分必要条件为：对应A的每个约当块的最后一行相应 的所有元素不完全为零。,2）

12、若A为某个特征值有多于一个约当块的约当阵时，则系统能控的充分必要条件为：对应A的每个特征值的所有约当块的 的分块的最后一行相应 的所有元素线性无关。,系统状态能控,系统状态能控,系统状态不完全能控,3.2 线性连续系统的能观测性,定义 如果系统在t0时刻的每一个初始状态x(to)都可通过在有限时间间隔tott1内，y(t)的观测值确定，则称系统为状态完全能观测的。,在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由给定为零输入的系统。不失一般性，设to=0。,这是因为，若采用如下状态空间表达式的解,由于矩阵A、B、C和D均为已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y(t

13、)中消去。因此，为研究能观测性的充分必要条件，只考虑所描述的零输入系统就可以了。,考虑由下所描述的线性定常系统。,判据1 格拉姆矩阵判据,判据2 秩判据 线性定常系统（4）为完全能观测的充分必要条件是,输出向量为,将 写为A的有限项的形式，即,如果系统是能观测的，那么在0tt1时间间隔内，由给定输出y(t)，就可由上式唯一地确定出x(0)。可以证明，这就要求nmn维能观测性矩阵,的秩为n。,由上述分析，我们可将能观测的充分必要条件表述为：由式所描述的线性定常系统，当且仅当nnm维能观测性矩阵,的秩为n，即,时，该系统才是能观测的。,试判断由式所描述的系统 是否为能控和能观测的。 解 由于能控性

14、矩阵,故该系统是状态能控的。,，,对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于,，,故该系统是输出能控的。 为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵的秩。由于,故此系统是能观测的。,判据3 PBH秩判据 线性定常系统（4）为完全能观测的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值 均成立。,3.2.4 状态能观测性条件的标准型判据,考虑所描述的线性定常系统,定理1 若系统矩阵A为对角型，则系统完全能观测的充要条件是：输出阵C中没有任何一列的元素全为零,推论：设系统具有两两相异的特征值 则系统状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线规范形式,不包含元素全为0的列。,定理2

15、 若系统矩阵A为约当型，则系统完全能观测的充要条件是：C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列中，没有一列的元素全为零,推论：若系统具有重特征值 则系统状态完全能观测的充分必要条件是经非奇异变换后的Jordan规范形式为：,1）若A为每个特征值都只有一个约当块的约当阵时，则系统能观测的充分必要条件为：对应A的每个约当块的 相应的分块的第一列元素不完全为零。,2）若A为某个特征值有多于一个约当块的约当阵时，则系统能控的充分必要条件为：对应A的每个特征值的所有约当块的 的分块的第一列相应 的所有元素线性无关。,下面讨论能控性和能观测性之间的关系。为了阐明能控性和能观测性之间明显的相似性，这里将介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理。 考虑由下述状态空间表达式描述的系统S1：,3.2.5 对偶原理,。,以及由下述状态空间表达式定义的对