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1、一、解答题1已知函数f(x)=alnx-ax-2（aR）.（1）当a0时，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45，且函数g(x)=12x2+nx+mf(x)（m,nR）当且仅当在x=1处取得极值，其中f(x)为f(x)的导函数，求m的取值范围.【答案】(1)f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+)；(2)m0.【解析】【详解】（1）f(x)=a(1-x)x（x0），当a0时，令f(x)0得0x1，令f(x)1，故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+)；（2）由题意可知f(2)=1，即a=-2
2、；所以g(x)=12x2+nx+m(2-2x)，所以g(x)=x+n+2mx2=x3+nx2+2mx2，因为g(x)在x=1处有极值，故g(1)=0，从而可得n=-1-2m，则g(x)=x3+nx2+2mx2=(x-1)(x2-2mx-2m)x2，又因为g(x)仅在x=1处有极值，所以x2-2mx-2m0在(0,+)上恒成立，当m0时，由-2m0，显然x0(0,+)，使得x02-2mx0-2m0不成立，当m0且x(0,+)时，x2-2mx-2m0恒成立，所以m0.【点睛】（1）求函数的单调区间时，常常通过求导，转化为解方程或不等式，解题时常用到分类讨论思想，分类时要根据参数的特点选择合适的标准
3、进行分类；（2）由于f(x0)=0是x0为极值点的必要不充分条件，故根据函数的极值点求得参数的值后要进行验证，否则可能会得到错误的结论.2已知函数f(x)=aexx+lnx-x(aR，且a为常数）()若函数f(x)的极值点只有一个，求实数a的取值范围；()当a=0时，若f(x)kx+m（其中m0）恒成立，求k+1m的最小值h(m)的最大值.【答案】（）a0或a1e（）见解析【解析】【分析】1令导函数等于零得x=1或a=xee，为满足题意讨论u(x)=xex的取值情况2将a=0代入，化简f(x)kx+m，求导后讨论k+10时、k+10时两种情况得出结果当a0或a1e时，方程a=xex无实数根，函
4、数f(x)只有x=1一个极值当a=1e时，方程a=xex 根x=1，此时f(x)中因式a-xex0恒成立函数f(x)只有x=1一个极值当0a0时，(x)在0,1k+1单调递增在1k+1,+单调递减(x)1k+1=lg1k+1-1-m若对x0,+都有x0成立，则只需ln1k+1-1-m0即ln(k+1)-1-m k+1e-1-m.【点睛】本题主要考查的是导数在函数中的应用，利用导数求函数的单调区间，判断单调性，再求参数，要掌握题目中的分类讨论过程。3设函数fx=clnx+12x2+bxb,cR,c0，且x=1为fx的极值点.（1）若x=1为fx的极大值点，求fx的单调区间（用c表示）；（2）若f
5、x=0恰有两解，求实数c的取值范围.【答案】(1) fx的单调递增区间为0,1，c,+；单调递减区间为1,c.(2) -12c0.【解析】【分析】（1）利用x=1为f（x）的极大值点，得到f（1）=0，然后利用导数研究f（x）的单调区间（用c表示）；（2）分别讨论c的取值，讨论极大值和极小值之间的关系，从而确定c的取值范围【详解】fx=cx+x+b=x2+bx+cx，又f1=0，则b+c+1=0，所以fx=x-1x-cx且c1.（2）若c0，则fx在0,1上单调递减，在1,+上单调递增，fx=0恰有两解，则f10，则12+b0，所以-12c0；若0c1，则fx极大值=fc=clnc+12c2+
6、bc，fx极小值=f1=12+b，因为b=-1-c，则fx极大值=clnc+c22+c-1-c=clnc-c-c221，则fx极小值=clnc+c22+c-1-c=clnc-c-c220，fx极大值=-12-c，则fx=0只有一解.综上，使fx=0恰有两解的c的取值范围为-12c0，记xi为f(x)的从小到大的第i（iN*）个极值点，证明：1x22+1x32+1x42+1xn20，则xi=(2i-1)2，iN*，1xi2=4(2i-1)22421(2i-1)2-1 =2222i(2i-2) =12(1i-1-1i)，i2，iN*， 1x22+1x32+1x42+1xn2 12(11-12)+(
7、12-13)+(13-14)+(1n-1-1n)=12(11-1n) 120时，则x1x2， 易得f(x)在区间-，-1a，a,+内为减函数，在区间-1a,a为增函数， 故函数f(x)在x1=-1a处取得极小值f-1a=-a2，函数f(x)在x2=a处取得最大值f(a)=1；（ii）当ax2， 易得f(x)在区间-，a,-1a,+内为增函数，在区间a,-1a为减函数，故函数f(x)在x1=-1a处取得极小值f(-1a)=-a2；函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a)=1.点睛：本题考查了利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的极值，是
8、中档题6已知函数fx=xlnx,gx=x+a.（1）设hx=fx-gx，求函数y=hx的单调区间；（2）若-1a0，有x-a.而-1a0，所以0-a1时，qx0.函数qx在区间1,+上单调递增.注意到q1=-a-10.故存在x0（1，e),使得M(x0)=0,且当x（1，x0)，M（x)0，当x(x0,e)时，M（x)0.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理的能力.(2)解答本题的关键是二次求导，在求得Mx=lnx-ax-1lnx2后，由于函数M(x)的单调区间不方便求得，所以要构造qx=lnx-ax-1x1,+，再求导qx=1x+ax2=x+ax2，再研究函数的图像和性质得解.
