方差分析与正交试验设计初步

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1、2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,1,第七章,方差分析与 正交试验设计初步,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,2,本章重点与难点,重点: 是了解和掌握方差分析与正交试验设计的思想和方法。 难点: 方差分析与正交试验设计的方法。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,3,学习目标,通过本章的学习，正确理解方差分析与正交试验设计的思想和有关概念，了解各种方法的应用条件和范围，能够应用软件进行有关的计算，能说明计算结果的含义。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,4,案 例 染整工艺对布的缩水率有影响吗 ?,某公司为考察染整工艺是否对布的缩水率有显著

2、影响进行了试验。试验中采用三种染整工艺，分别对四种布样进行了处理，测得缩水率的百分比资料如7-1表所示:,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,5,问题：,(1) 如何判断染整工艺类型对缩水率是否有显著影响？若影响显著，应采用哪种工艺？ (2) 如果还有一个因素B（试验配方，共三种）也对缩水率产生作用，应该如何选择最优方案？ (3) 如果还有两个或者两个以上的因素也对缩水率产生作用，应该如何选择最优方案？ 为了回答上述问题，本章将介绍单因素方差分析、双因素方差分析和正交试验设计法的有关概念、分析思想、数学模型、方差分析表和正交试验设计的基本方法等。,2019/1/8,版权所有 BY

3、统计学课程组,6,第一节 方差分析的基本思想 第二节 单因素方差分析 第四节 双因素方差分析 第四节 正交试验设计初步,第七章 方差分析与正交试验设计初步,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,7,第一节 方差分析的基本思想,一、方差分析的有关概念和基本思想 二、显著性检验,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,8,一、方差分析的有关概念和基本思想,（一）简单平均数 方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）是一种检验多个总体均值是否相等的统计方法。 一般将方差分析研究的对象称为因素，而因素中的内容称为水平。若方差分析同时针对两个因素进行，则称为双因素

4、方差分析。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,9,一、方差分析的有关概念和基本思想,在本章案例中，缩水率就是试验指标，染整工艺是所要检验的因素（又称因子），三种不同的工艺可看成是该因素的三种水平，故这是一个单因素三水平的试验。 从表7.1可知，12个数据各不相同。一方面，同一种工艺对不同种布样的缩水率是不同的，其差异可以看成是由于随机因素造成的；另一方面，不同工艺对各布样的缩水率也是不同的，这既可能是由于染整工艺类型不同造成的，也有可能是由于随机因素造成的。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,10,一、方差分析的有关概念和基本思想,要判断随机因素和工艺差别哪个是造成

5、缩水率不同的主要原因，可假设三种不同的工艺为三个不同的总体，将此问题归结为判断三个总体是否具有相同的分布。又由于经常假定遇到的是正态总体，且在进行试验时，除了要检验的因素，其他条件是尽可能保持一致的，于是可以认为每个总体的方差是相同的。这样一来，推断几个总体是否具有相同分布，就可以化为检验几个具有相同方差的正态总体均值是否相等的问题。这里还要假定各水平观察值为来自正态总体的随机样本，各总体相互独立且方差相同。这些假定在实际中一般难以严格满足，但应对数据进行处理，使其近似地满足正态分布。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,11,二、显著性检验,设检验的因素有m个水平，分别记为 ，在

6、每个水平下做k次试验，观察值 表示第i个水平下的第j个试验值。又设 是m个相互独立且方差相等的正态总体， 的总体均值 ，则方差分析实际上就是要检验假设：,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,12,令n=mk 通常称 为组平均数，称 为总平均数。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,13,平方和分解公式：,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,14,称为总离差平方和，它是描述所有数值离散程度的数量指标。 称为组内平方和或误差平方和，是观察值与组内平均数之差的平方和，它反映了组内（即在同一水平之下）样本的随机波动。 的自由度 ，其组内方差为 。 称为组间平方和，是

7、组内平均数与总平均数之差的平方和，它反映了因素水平的不同及随机因素引起的差异。 的自由度 ，其组间方差为 。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,15,由平方和分解公式可知， 与 的比值反映两种差异的大小，比值越大，说明由于因素水平不同引起的差异越显著。根据统计推断的有关定理和推论，统计量 因此，F作为检验 是否成立的检验统计量。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,16,对于给定的显著性水平，由F分布表可查出相应自由度的临界值 。如果， 则拒绝原假设 ，此时说明因素A对试验指标起显著影响；如果 ，则接受原假设 ，此时说明因素A的不同水平对试验指标的影响不显著。,201

8、9/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,17,第二节 单因素方差分析,一、各水平试验次数相等的方差分析 试验次数相等的单因素方差分析的具体步 骤： 1建立假设,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,18,2计算有关均值及平方和,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,19,在表7.1中增加若干计算栏，计算有关均值，如表7.3所示。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,20,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,21,3列方差分析表,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,22,对于本章案例，方差分析表如表7.5所示：,2019/1/8,版权所有

9、 BY 统计学课程组,23,4统计决策,对于显著性水平 ，检验统计量 ，说明不同工艺方法的差异显著。又由于 ,故第一种工艺方法（即 ）对布料缩水率的影响显著小于其他方法，应予采用。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,24,二、试验次数不等的方差分析,试验中，有时各水平下的试验次数不相等，如表7.6所示：,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,25,试验次数不等的单因素方差分析的计算步骤与试验次数相等的完全一样，只是将K改为 即可。,例7.1 为了对几个行业的服务质量进行评价，某市消费者协会对该地的旅游业、居民服务业、公路客运业和保险业分别抽取了不同数量的企业。每个行业中

10、的这些企业在服务内容、服务对象、企业规模等方面基本相同。经统计，最近一年消费者对这23家企业投诉的次数资料如表7-7所示，消费者协会想知道:这几个行业之间的服务质量是否有显著差异？如果有，究竟是在哪些行业之间？如果能找出哪些行业的服务质量最差，就可以建议对消费者权益保护法中该行业的某些条款作出修正。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,26,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,27,解(1) 建立假设 不全相等 (2) 计算有关均值及平方和,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,28,(3) 列方差分析表(表7-8),2019/1/8,版权所有 BY 统计学课

11、程组,29,(4) 统计决策 对于显著性水平 由于检验统计量 ，所以拒绝原假设 ，即有95%的把握认为不同的行业之间投诉的差异显著。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,30,Excel中方差分析的计算步骤,(1) 点击“工具”栏中的数据分析项； (2) 在分析工具框中连击“单因素方差分析”； (3) 在对话框的“数据区域”框中键入A3：C6； 在框中保持0.05不变（也可根据需要变为0.01）； 在“输出选项”中键入D3； 选择“确定”，输出结果如表7-9所示：,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,31,由于P=0.0207150.05，故拒绝原假设，即有95%的把握

12、认为三种染整工艺缩水率的差异是显著的。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,32,三、方差分析中的多重比较,最小显著差异法 的基本步骤为： 第一步：提出原假设： 第二步：计算各检验统计量的 值； 第三步：计算LSD，其公式为： 第四步：根据显著性水平进行决策：如果 的值，则拒绝 ；否则，则接受,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,33,对于例7.1，对四个行业的均值进行多重比较（=0.05）,由题意及计算可知， 第一步：提出假设,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,34,第二步：计算检验统计量的值 第三步：计算LSD。,2019/1/8,版权所有 BY 统计

13、学课程组,35,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,36,第四步：进行决策,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,37,第三节 双因素方差分析,一、无交互作用的双因素方差分析 若记一因素为因素A，另一因素为因素B，对A与B同时进行分析，就属于双因素方差分，即判断是否有某一个或两个因素对试验指标有显著影响，两个因素结合后是否有新效应。在统计学中将各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响称为交互作用。我们先讨论无交互作用的双因素方差分析问题，对于有交互作用的双因素方差分析问题稍后再讨论。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,38,假定因素A有r个水平： ；因素B有

14、s个水平： 。在A的r个水平与B的s个水平的每种组合下作一次试验，可得无交互作用的双因素方差分析的数据结构如表7-10所示：,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,39,表7-10 双因素方差分析的数据结构,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,40,在表7-10中：,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,41,判断因素A的影响是否显著等价于检验假设： 判断因素B的影响是否显著等价于检验假设： 其中， 表示A的第i个水平所构成的总体均值， 表示的B第j个水平所构成的总体均值。,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,42,对离差总平方和进行分解。与单因素情

15、况类似，能够证明下列公式成立：,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,43,由数理统计可以证明：当 时,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,44,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,45,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,46,表7-11 双因素（无交互作用）方差分析表,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,47,例7.2 为提高某种产品的合格率，考察原料用量和来源地对其是否有影响。原料来源地有三个：甲、乙、丙；原料用量有三种：现有量、增加5%、增加8%。每个水平组合各作一次试验，得到的数据如表7-12所示。试分析原料用量和来源地对产品合格率的影响是否显著？,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,48,表7-12 产品合格率数据,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,49,解:(1) 建立假设 (2) 计算相应的均值和平方和：,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,50,(3) 列方差分析表,2019/1/8,版权所有 BY 统计学课程组,51,(4) 统计决策,对于显著性水平 =0.05，查表得临界值 因为 即根据现有数据，有95%的把握可以推断原料来源地对产品合格率的影响不大，而原料用量对合格率有显著影响。 由于 为最优水平。既然原料来源地对产品合格率