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1、第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等解析:棱柱的侧面为平行四边形,且各侧棱长都相等,故A不正确,易知C,D不正确.B正确.答案:B2.若一个几何体的三个视图都是面积为2的圆,则这个几何体的表面积是()A.4B.2C.8D.16解析:由题意知该几何体为球,设其半径为r,则S=r2,所以r=2.故S表=4r2=422=8.答案:C3.若一个几
2、何体的直观图如图所示,则下列给出的四个俯视图正确的是()解析:俯视图为几何体在底面上的投影,应为B中图形.答案:B4.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.200+9B.200+18C.140+9D.140+18解析:与三视图对应的直观图是下面一个长、宽、高依次为10,4,5的长方体和上面是半径为3,高为2的半个圆柱的组合体.答案:A5.已知水平放置的ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中BO=CO=1,AO=32,则ABC是一个()A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形解析:由斜二测画法的规则可得BC=BC=2,AO=
3、2AO=232=3.因为AOBC,所以AB=AC=2.故ABC是等边三角形.答案:A6.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.1B.2C.2-12D.2+12解析:由题意知正方体的棱长为1,正视图的高为1,宽在区间1,2上,所以正视图的面积在区间1,2上变化,而2-121,故选C.答案:C7.如果圆锥的表面积是底面面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角的度数为()A.120B.150C.180D.240解析:设圆锥的底面半径为R,母线长为l.由题意知R2+Rl=3R2,所以l=2R,扇形的弧长为2R=l.而扇形所在圆的周长为2
4、l,所以该扇形是半圆,即所求圆心角的度数为180.答案:C8.如图,已知ABC表示水平放置的ABC在斜二测画法下的直观图,AB在x轴上,BC与x轴垂直,且BC=3,则ABC的边AB上的高为()A.62B.33C.32D.3解析:如图,过C作CDOy交x轴于点D,则2CD是ABC的边AB上的高.由于BCD是等腰直角三角形,则CD=2BC=32.所以ABC的边AB上的高等于232=62.答案:A9.已知圆柱的侧面展开图(矩形)的面积为S,底面周长为C,则它的体积是()A.C34SB.4SC3C.CS2D.SC4解析:设圆柱的底面半径为r,母线长为l,2rl=S,2r=C,所以V=r2l=S2C2=
5、SC4.答案:D10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.16B.13C.12D.1解析:由三视图可得,三棱锥的直观图如图所示,则该三棱锥的体积V=1312111=16,故选A.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若把长、宽分别为2a,a的矩形卷成一个圆柱的侧面,且圆柱的体积为8,则a=.解析:设圆柱的底面半径为r,母线长为l.当2r=a,l=2a时,则r=a2,h=l=2a,所以V圆柱=r2h=a2422a=a32=8,解得a=316.当2r=2a,l=a时,则r=a,h=l=a,所以V圆柱=r2h=a22a=a3=8,解得
6、a=2.故所求a的值为316或2.答案:316或212.已知三棱锥的侧棱PA,PB,PC两两垂直且相等,若AB=2,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是.解析:由题意知该三棱锥为正方体的一部分,如图所示.因为AB=2,所以PA=PB=PC=1,即外接球的半径为32.故球的表面积为4r2=4322=3.答案:313.如图,若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,则圆柱、圆锥、球的体积之比为.解析:设球的半径为R,则V柱=R2(2R)=2R3,V锥=13R22R=23R3,V球=43R3,故V柱V锥V球=2R323R343R3=312.答案:31214.一个横放的圆柱形水桶,
7、桶内的水占底面周长的四分之一,当桶直立时,水面的高度与桶的高度之比为.解析:设桶直立时,水面的高度为x,桶的高度为h,桶的底面半径为R,则横放时水桶底面在水内的面积为14R2-12R2,V水=14R2-12R2h.直立时,V水=R2x,所以xh=(-2)4.答案:(-2)415.在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为.解析:由正视图和俯视图可知该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图形可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2(13+11+31)=14.答案:14三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时
8、应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.解:因为V半球=1243R3=124343=1283(cm3),V圆锥=13r2h=134210=1603(cm3),又因为V半球V圆锥,所以冰激凌融化了,不会溢出杯子.17.(8分)如图所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图及其正视图和侧视图(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的数据,求该多面体的体积.解:(1)加上俯视图后的三视图如图所示.(2)所求多面体的体积V=V长方
9、体-V三棱锥=446-1312222=2843(cm3).18.(9分)如图为一个几何体的表面展开图.(1)沿图中虚线将它们折叠起来,是哪一种几何体?画出它的直观图;(2)需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体?若图是棱长为6 cm的正方体,试在图中画出这几个几何体的一种组合情况.图图解:(1)几何体是四棱锥,它的直观图如图所示.(2)需要3个这样的四棱锥才能拼成一个棱长为6cm的正方体,四棱锥D1-ABCD,四棱锥D1-BCC1B1,四棱锥D1-ABB1A1,如图所示.19.(10分)已知三角形ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋
10、转一周,求所得旋转体的表面积和体积.解:如图,由题易知旋转体是由底面重合的两个圆锥拼接而成.设上面圆锥的母线长为l1,下面圆锥的母线长为l2,重合底面的半径为r.因为ABC为直角三角形,所以r=125,S表=rl1+rl2=r(l1+l2)=1257=845.设重合底面面积为S,则V=V上+V下=13S5=531252=485.20.(10分)若E,F分别是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点,且B1E=CF,三棱柱的体积为m,求四棱锥A-BEFC的体积.解:如图,连接AB1,AC1.由于B1E=CF,则梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC1的高相等,VA-BEFC=VA-B1EFC1=12VA-BB1C1C.设三棱柱的高为h,VA-A1B1C1=13SA1B1C1h,VABC-A1B1C1=SA1B1C1h=m,VA-A1B1C1=m3,VA-BB1C1C=VABC-A1B1C1-VA-A1B1C1=23m,VA-BEFC=1223m=m3,即四棱锥A-BEFC的体积是m3.
