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1、1,第二章 随机信号分析,2.1 随机过程的基本概念 2.2 平稳随机过程 2.4 高斯过程 2.5 窄带随机过程 2.6 随机过程通过线性系统,2,2.1 随机过程的基本概念,随机过程是时间t的函数 在任意时刻观察，它是一个随机变量 随机过程是全部可能实现的总体,3,4,分布函数与概率密度：,设 表示一个随机过程， （t1为任意时刻）是一个随机变量。 F1（x1，t1）=P x1 的一维分布函数 如果存在 则称之为 的一维概率密度函数,5,的n维分布函数,n维概率密度函数 n越大，Fn，fn描述 的统计特性就越充分,6,数学期望与方差 E =,D =E -E 2 =E 2-E 2 = 协方差
2、函数与相关函数 用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性 协方差 B（t1，t2）=E -a（t1） -a（t2） =,7,相关函数 R（t1，t2）=E =,B（t1，t2）=R（t1，t2）-E E ， 表示两个随机过程 互协方差函数 互相关函数,8,2.2 平稳随机过程 任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关,任意的n和 因此，一维分布与t无关，二维分布只与t1，t2间隔 有关。 均值 （2） 方差 （3） 相关函数 R（t1，t2）= （4）,（1）,9,均值，方差与时间无关 相关函数只与时间间隔有关,满足（2），（3），（4）广义平稳（宽平稳） 满足（1） 狭义平稳
3、（严平稳） 时间平均：取一固定的样本函数（实现）对时间取平均 x（t）为任意实现,10,平稳随机过程 ，其实现为x1（t），x2（t）， xn（t），如其时间平均都相等，且等于统计 平均，,即 a= 则称平稳随机过程 具有各态历经性。 各态历经性可使统计平均转化为时间平均，简化计算。,11,相关函数与功率谱密度,为实平稳随机过程，其自相关函数性质： （1） R（0）=E =S 的平均功率 （2） R（ ）=R（- ） R（ ）是偶函数 （3）,证明：,12,（4） 的直流功率 （5） 的交流功率,任意确定功率信号f（t），功率谱密度,是fT（t）（f（t）截短函数）的频谱函数 随机过程的功率谱
4、密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均， 某一实现之截短函数,13,你应该知道的：,傅里叶变换 记为： F（j）=F f（t） f（t） =F -1F（j）,14,的自相关函数与功率谱密度之间互为傅氏变换关系,例：某随机过程自相关函数为R（ ），求功率谱密度。 解：,15,16,例 求随机相位正弦波 的自相关函数与功率谱密度， 常数， 在（0，2 ）均匀分布。,解,17,2.3高斯过程 任意的n维分布都服从正态分布的随机过程,一维概率密度函数 a 数学期望， 均方差， 方差 f（x）关于 x=a 对称 f（x）在 单调上升， 单调下降 或 且有,18,19,分布函数,概率积分函数 误差函数
5、 互补误差函数,20,2.4 窄带随机过程 窄带：信号频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，中心频率远离零频,21,同相分量 正交分量 为零均值，平稳高斯窄带，确定 统计特性,22,结论1：,推导： 由于 平稳，零均值，即任意t，均有,23,结论2：同一时刻 不相关，或统计独立。,24,令 t=0,显然要求 令 同理可得,（1）,（2）,25,由（1），（2）可得,根据互相关函数的性质，应有 是 的奇函数 有 同理可证 即同一时刻 不相关，或统计独立。,（3）,26,由（1），（2）还可得 平均功率相等,即 方差相等 结论3： ， 是高斯过程 证：当,故：,是高斯随机变量。,是高
6、斯过程,27,重要结论：,均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量同样是平稳随机过程，均值为零，方差相同，在同一时刻得到的 及 不相关，或统计独立。,28,统计特性,服从瑞利分布 服从均匀分布,29,理想的宽带过程白噪声,n0为常数 白噪声的自相关函数仅在 时才不为零，故白噪声只有在 时才相关，在任意两个时刻上随机变量都不相关。,30,带限白噪声,对带限白噪声按抽样定理抽样，则各抽样值是互不相关的随机变量,31,32,例：限带3400Hz的语音信号和加性噪声，以fs=6800Hz的速率对x（t）进行抽样,t,X(t)=s(t)+n(t),33,2.5随机过程通过线性系统 线性系统响应v
7、0（t），输入vi（t），冲激响应h（t）,线性系统是物理可实现的，则 或 当输入是随机过程 时，输出为,34,假定输入 是平稳随机过程，考察 的特性,（平稳性）,1、,35,2、 的自相关函数,由平稳性 输出过程是广义平稳的。,36,3、 的功率谱密度,令 则,37,4、输出过程 的分布,将 改写为和式： 可知：若 为正态随机变量 也为正态随机变量 高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。,38,思考：随机过程 ，A是均值为a，方差为 的高斯随机变量，求：,1、 及 的两个一维概率密度。 2、 是否广义平稳？ 3、 的功率谱 4、平均功率是多少？,39,解：1、,2、在 t=0 及 t=1 时刻，均值不同，一维特征与时间有关,自相关函数与时间有关， 不是广义平稳过程,40,3、功率谱并不反映随机信号的相位特征，因此，求功率谱，先对R进行时间平均。,4、,
