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1、走进中考解析 ?数与式 ?新题 550308? 贵阳市开阳县宅吉中学? 汪国刚 ? ? ?数与式 ?是初中数学的核心内容之一, 不仅在中考 试卷中占有相当比重, 更重要的是它融合在诸多的知识 之中与更多的新颖题型中. 笔者就近年来频频出现 ?数 与式 ?中新颖考题进行解析如下, 以供读者参考. 1? 新定义型 例 1? (2010年黄石 )若自然数 n使得作竖式加法 n + (n+ 1) + (n + 2)均不产生进位现象, 则称 n 为 ?可连 数 ?, 例如 32是 ?可连数 ?.因为 32+ 33+ 34不产生进位 现象; 23不是 ?可连数 ?, 因为 23+ 24+ 25产生了进位现
2、 象. 那么小于 200的 ?可连数 ?的个数为. 解析 ? 根据新定义 ?可连数 ?, 当自然数 n 在 0 9 之间, 有 ?可连数 ?是 0, 1, 2; 当自然数 n在 10 19之间, 有 ?可连数 ?是 10 , 11, 12; ?, 依次类推, 小于 200的 ?可 连数 ?分别为 0, 1, 2; 10, 11, 12; 20, 21, 22; 30, 31 , 32; 100, 101, 102; 110, 111, 112; 120, 121 , 122; 130, 131, 132 共 24个. 故填 24. 点评 ? 此题考查了以有理数为素材命制的一道具 有新意的 ?新
3、定义 ?题, 根据 ? 新定义 ?, 可以用分类讨论 的思想把符合题意的数一一展现, 这样得出结果避免了 漏解的可能. 例 2? (2009年台州 )若将代数式中的任意两个字 母交换, 代数式不变, 则称这个代数式为完全对称式, 如 a+ b+ c就是完全对称式. 下列三个代数式: ? (a- b) 2; ? ab+ bc+ ca; ? a 2b+ b2c+ c2a. 其中是完全对称式的是 A. ? ? B . ? ? C . ? ? D. ? ? 解析 ? 由对称式的定义逐一进行验证, 不妨把字母 a换成字母 b, 则 ? 变为 (b- a) 2 = (a- b) 2, 为完全对称式; ?
4、变为 ba + ac+ cb= ab+ bc+ ca, 为完全对称式; ? 变为 b 2a + a2c+ c2b= a2b+ b2 c+ c 2a, 不是完全对 称式. 故选 A. 点评 ? 本题是一道新定义题目, 主要考查了同学们的 阅读能力.把整式的运算结合在题目的设计中进行了考查. 温馨小提示 ? 以一些具有特殊性质或具有特殊关 系的数为背景, 设计 ?新定义 ?题, 是近年来新课标中考 卷的一个亮点. 解题时要抓住新定义本质特征或隐含的 规律, 认真审题, 仔细领会新定义的实质进行判断. 2? 新运算型 例 3? (2010年铜仁 )定义运算 ? ?的运算法则为: x y= xy- 1
5、, 则 (2 3) 4=. 解析 ? 根据定义运算法则, x y= xy- 1, 所以 (2 3) 4= (2 ? 3- 1) 4= 5 4= 5 ? 4- 1 = 19. 故应填 19 . 温馨小提示 ? 中考命题者人为地给出一个全新的 运算符号并赋予它相应的运算法则或顺序或程序. 解决 这类问题要学会把陌生的运算转化为常见的加、 减、 乘、 除、 乘方、 开方运算, 利用数与式的运算法则进行运算, 从而解决问题. 3? 图表信息型 例 4?( 2010年吉林 )如图所示, 检测 4个足球, 其 中超过标准质量的克数记为正数, 不足标准质量的克数 记为负数. 从轻重的角度看, 最接近标准的是
6、 解析 ? 从图形提供信息可知, 从轻重的角度看, 最 接近标准的是 C 球, 与标准只差 0. 8克, 其余的都大于 0. 8克. 故选 C. 点评 ? 本题以现实生活中较熟悉的足球画面为情 景, 考查了正数与负数的意义这一基础知识, 同时隐含 着数的大小或绝对值. 以图形信息给同学们提供审题, 颇有新意. 例 5? (2010年镇江 )描述证明. 44 ?( 2011年第 2期? 初中版 )? ? ? ? ? ? ? ?复习参考? 描述证明 海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象: 解析 ?(1) a b + b a + 2= ab; a + b= ab. (2)? a b + b a
7、+ 2= ab, ? a 2+ b2 + 2ab ab = ab, 即 a 2 + b 2 + 2ab= (ab) 2, ? (a+ b) 2 = (ab) 2, ? a 0, b 0, a+ b 0, ? a+ b= ab . 点评 ? 此类问题以有趣话题的形式呈现信息, 寓数 学问题、 数学思想和方法于情境中, 可以活跃考试的气 氛, 又能进行知识的考查. 解决问题时要注意挖掘人物 对话中的信息. 温馨小提示 ? ?图表信息型问题 ?主要考查同学们 的阅读能力、 识图读表能力、 处理信息能力、 分析问题能 力与解决问题能力. 这类问题的命题背景十分广泛, 命 题形式多样化, 隐含知识丰富.
8、 4? 规律探究型 例 6? (2010年北京 )下面是按一定规律排列的一 列数: 第 1个数: 1 2 -1+ - 1 2 ; 第 2个数: 1 3 -1+ - 1 2 1+ ( - 1) 2 3 1+ ( - 1) 3 4 ; 第 3个数: 1 4 -1+ - 1 2 1+ (- 1) 2 3 1+ ( - 1) 3 4 1+ ( - 1) 4 5 1+ (- 1) 5 6 ; ? 第 n个数: 1 n+ 1 - 1+ - 1 2 1+ ( - 1) 2 3 1+ ( - 1) 3 4 ? ? 1+ ( - 1) 2n- 1 2n . 那么, 在第 10个数、 第 11个数、 第 12个数
9、、 第 13个 数中, 最大的数是 A. 第 10个数 ? ? ? ? B. 第 11个数 C.第 12个数D. 第 13个数 解析 ? 经过观察这些数的排列规律及其计算可以 知道, 第一个数为 1 2 - 1 2 = 0; 第二个数为 1 3 - 1 2 = - 1 6; 第三个数为 1 4 - 1 2 = - 1 4; ?, 第 n个数为 1 n + 1- 1 2 = 1- n 2(n+ 1). 随着 n的增大, 数越来越小, 所以在第 10 个数、 第 11个数、 第 13个数中, 最大的数是第 10个数. 故选 A. 点评 ? 本题是一道实数运算规律探究题, 通过对前 面几个式子的计算
10、, 仔细观察, 从第 2个数起, 后续每个 数都是负分数 (共性 ), 越往后分母增大, 所以越往后数 就越小. 注意的是计算要有一定的基础与技能. 例 7? (2009年河北 )古希腊著名的毕达哥拉斯学 派把 1, 3, 6, 10, ?, 这样的数称为 ? 三角形数 ?, 而把 1, 4, 9, 16, ?, 这样的数称为 ?正方形数 ?. 从下图中可以发 现, 任何一个大于 1的 ?正方形数 ?都可以看作两个相邻 ?三角形数 ?之和. 下列等式中, 符合这一规律的是 A. 13= 3+ 10? ? ? ? B . 25= 9+ 16 C. 36= 15+ 21D. 49= 18+ 31
11、解析 ? 根据题目规定义的规律, 答案 A 中 13不是 ?正方形数 ?, 可排除; 从给定的几个数与式对应规律, 如 果满足上述要求的规律, 那么任何一个大于 1的 ?正方 45 ?复习参考? ? ? ? ? ? ? ( 2011年第 2期? 初中版 ) 形数 ?都可以看作两个相邻 ?三角形数 ?之和, 这两个 ?三角形数 ?中, 较大数与较小数的差恰为 ?正方形数 ? 的算术平方根. 如答案 B中, 25的算术平方根为 5, 所以 较大 ?三角形数 ?与较小 ?三角形数 ?差应为 5, 不是 7, 所 以不符合规律, 排除此答案; 同理, 答案 D也排除, 所以 符合题意答案为 C. 点评
12、 ? 本题体现出数与式的巧妙结合形成的规律 探究题, 具有数式美的感觉. 解题时要认真观察、 比较、 猜想, 通过从 ?特殊 ? 一般 ? 特殊 ?的思维模式寻求 题目规律所在. 温馨小提示 ? 规律探究题在中考中主要以给出一 些特殊的数、 式或图形, 从中找出一般性的规律, 进而利 用其规律求解问题. 解法是通过实验、 猜想、 验证、 总结、 归纳等过程将问题解决. 5? 开放探究型 例 8? (2010年吉林 )在三个整式 x 2 + 2xy, y 2 + 2xy, x 2 中, 请你任意选出两个进行加 (或减 )运算, 使所得整 式可以因式分解, 并进行因式分解. 解析 ?(x 2 +
13、2xy)+ x 2 = 2x 2 + 2xy= 2x(x+ y); 或 (y 2 + 2xy)+ x 2 = (x+ y) 2; 或 (y 2+ 2xy) - (x2+ 2xy) = y 2- x2 = (y+ x) (y- x). 点评 ? 本题是一道结论开放型试题, 涉及到整式的 运算、 因式分解, 比单独考查因式分解题目新颖. 给考生 立意新的感觉. 例 9?( 2010 年齐齐哈尔 )先化简 (a - 2a- 1 a ) ? 1- a 2 a 2 + a , 然后给 a选择一个你喜欢的数代入求值. 解析 ?(a- 2a- 1 a ) ?1- a 2 a 2 + a= a 2 - 2a+
14、 1 a ?a 2 + a 1- a 2 = (a- 1) 2 a ? a(a+ 1) (1+ a )( 1- a) = 1- a. 取 a= 2时, 原式 = 1- 2= - 1. 点评 ? 本题考查分式的运算及求值, 但隐含着对分 式概念的考查, 即分式要在有意义的情况下进行化简和 求值运算. 所以本题中 a 的取值时, 要取使分母不为 0 的简单值 (即 a不可取 0 , - 1, + 1的值 ). 如果忽略了这 一点, 就会栽进 ?陷阱 ?. 温馨小提示 ? ?开放探究型 ?是指题目的条件或结 论不给出, 或不完善, 需要同学们利用现有的知识, 探求 问题答案的一类题, 其开放性主要体
15、现于问题的答案不 唯一. 其解题思路根据条件或结论展开探究. 6? 阅读理解型 例 10?( 2010年山东 )请认真阅读下列解题过程, 并解答好后面的问题! ?2+ 2 3 = 2 2 3; 验证: ?2+ 2 3 = 6+ 2 3 = 8 3 = 2 2 ?2 3 = 2 2 3. ?3+ 3 8 = 3 3 8. 验证: ?3+ 3 8 = 24+ 3 8 = 27 8 = 3 2 ?3 8 = 3 3 8. (1)按上述两个等 式及其验证的基 本思路猜想 4+ 4 15 的变形结果; (2)针对上述各式反映的规律, 写出用 n (n 为自然 数, 且 n?2)表示的等式, 并加以说明.
16、 解析 ?(1)4+ 4 15= 60+ 4 15 = 64 15 = 4 2 ?4 15 = 4 4 15 ; (2)n+ n n 2 - 1= n n n 2 - 1(n?2). 点评 ? 本题是以二次根式为内容的一道化简拓展 题, 同学们只要阅读给定的变形模式, 就可以探究出这 类数的规律所在. 温馨小提示 ? ?阅读理解题 ?作为新题在新课程中 考卷中闪亮登场, 涉及到的知识源于课本又高于课本, 考查了学生阅读能力、 理解能力, 分析、 解决问题的能 力. 其解决此问题关键: 先通过阅读进行理解概念或寻 找解题方法, 领悟思想; 注意理解材料中给定的因果关 系; 力求知识或方法的迁移、 探索求新. (收稿日期: 20101110) 46 ?( 2011年第 2期? 初中版 )? ? ? ? ? ? ? ?复习参考?
