《量子力学基》ppt课件

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1、第八章 量子力学基础,背景,黑体辐射,黑体辐射示意图,普朗克(Plank) 1900 年给出了 黑体辐射实验结果完美的解释。 他假定组成黑体的原子(分子)只能以 的能量吸收或发射频率为 n 的辐射，即能量的吸收或发射不是连续的，而是一份份进行的。,量子,普朗克常数,2. 光电效应,光电效应示意图,实验结果： (a) 对特定的阴极材料，只有频率超过某一最小值n0的照射光才能产生光电效应。 (b) 阴极发射电子的数目随照射光的强度的增大而增大。 (c)阴极发射电子的动能随照射光频率的增大而增大。,爱因斯坦(Einstein) 1905 提出光由光子组成，每个光子携带的能量为 式中n为光的频率,3.

2、 德布罗意假设与测不准原理,多晶金属薄片对电子的衍射环,光在不同的实验中表现出不同的性质：波动性、粒子性，称为光的波粒二象性。对实物粒子(静止质量不为零的粒子)，德布罗意假定(1923)其同样具有波粒二象性。实物粒子的波长与其动量满足,德布罗意假设,微观粒子的波粒二象性导致其位置和与之对应的动量不能同时精确测量，如：,测不准原理,上式称为测不准原理。,注意：(1) 测不准原理是微观粒子波粒二象性的必然结果， 而不是测量技术的限制造成的。 (2) 宏观粒子同样具有波粒二象性，因此同样满足 测不准原理，只是 h 的值很小，测不准原理对 宏观系统而言没有什么影响。,8.1 量子力学基本假设,粒子运动

3、的经典力学描述,运动方程：,运动方程的积分：,结论： 作一维运动的粒子，其运动状态由其坐标和动量 完全确定。,推广至含有 N 个粒子的系统，系统状态的确定需要指定每个粒子的坐标 及动量 ，即N 个宏观粒子组成的系统的状态需要 6N 个变量确定。 微观粒子系统 对微观粒子系统，由于粒子的坐标和与之对应的动量不能同时精确测量，因此不能象宏观系统一样通过指定每个粒子的坐标和动量来确定系统的状态。故做以下假定： 假定一 包含 N 个粒子的微观系统，其状态由所有粒子的坐标(或动量)的函数 (或 )来表示， 称为波函数。,波函数本身没有明确的物理意义，但,表示在时刻 t, 处体积元 中发现粒子1， 处体积

4、元 中发现粒子2 ,的概率。,例如对单粒子系统，其状态用波函数 表示，而 则表示在时刻t， 处 体积元 中发现该粒子的概率。,(式中 ，a为任意实数)。因此波函数 与 代表相同的状态。, 由于在整个空间粒子出现的概率为1，因此,品优函数,满足该条件的函数称为平方可积或归一化的。, 波函数是单值的。, 波函数是单值的。,注意，由于,假定二 系统状态 随时间的变化由薛定谔方程确定：,式中 为粒子 j 的坐标，mj 为其质量； 代表所有粒子的坐标， 为系统的势能。,假定三,系统可观测物理量用算符表示。,(1) 算符 所谓算符，简单地说就是一种表示变换的符号，它代表将一个函数变为另一个函数的操作。,例

5、如：,记作 。, 线性算符 如果算符 满足式,则称其为线性算符，式中 c1 和 c2为任意常数。,(2) 算符的和与乘积,两个算符 和 的和 定义为,算符的和满足交换律，即,两个算符 和 的积 定义为,算符的乘积满足结合律，但一般不满足交换律：,如果 ，则称 和 对易。,(3) 算符的本征方程、本征值和本征函数,上式称为算符 的本征方程。l为本征值，u 为 属于 l的本征函数。,例如，算符 的本征方程为,本征值 ，本征函数 。,(4) 厄米算符 算符 称为厄米算符，如果对任意波函数 u 和 w 都有,厄米算符性质：,厄米算符的本征值为实数； 厄米算符属于不同本征值的 本征函数相互正交。,(5)

6、 可观测量物理量 O 的算符的构造, 写出以时间、坐标和动量为变量的力学量 O 的经典力学表达式：,式中 表示坐标， 表示动量。, 将时间 t 和坐标 及它们的函数看作数乘算符，而将动量 用算符,代替，即可得到力学量 O 对应的算符 ：,例 由质量为 m 的单个粒子组成的系统，设粒子的势能为时间和位置的函数 ，试写出能量算符的表达式。,解：由于该系统由一个粒子组成，其总能量为粒子动能与势能之和，称为哈密顿函数：,对上式做变换：,得到算符：,由于,因此,而 ，固有,式中,称为第 j 个粒子的拉普拉斯(Laplace)算符。 代表所有粒子的坐标。,称为哈密顿算符。对于多粒子系统,利用哈密顿算符，薛

7、定谔方程写作：,如果系统势能与时间无关，上述方程可用分离变量法求解：,令 ，并代入上述方程得,方程左端只是 t 的函数，而右端则只是坐标 的函数，使上式成立的条件是方程两边同时等于一个常数，记为E:,方程组中第一个方程为哈密顿算符 的本征方程。由于 为系统中能量的算符，因此本征值 E 为系统的总能量。,第二个方程的解可通过直接积分得到：,故，当系统的势能函数与时间无关时系统的波函数表示为：,由于,即在空间某点附近发现粒子的概率不随时间变化，因而将这种状态称为定态，而算符 的本征方程由称为定态薛定谔方程。,假定四,测量原理 在一个系统中对力学量 进行测量，其结果为 的本征值 。,如果系统处于 的

8、本征态 ，其本征值为 ，则 的测量结果为 。,(2) 如果系统所处的状态 不是 的本征态，则其测量结果的平均值为：,8.2 势箱中粒子的薛定谔方程求解,1. 一维势箱中粒子,系统的哈密顿函数：,做变换,，,得到该系统的哈密顿算符：,一维势箱粒子的定态薛定谔方程表示为：,区域 I 和 III，由于 V(x) = ，粒子出现的概率为零，因此在该两区域有 。,区域 II，V(x) = 0，故,该方程的通解为：,应用边界条件：,解得,讨论：,(1) A = 0，则B = A = 0，即有 ，与物 理概念不符，舍去。,(2),即 ，解得,(1) 如果 n = 0，则,(2),即 和 表示相同的状态。因此

9、，n 只能取正整数 1，2，3， ,代入波函数表达式，得,由波函数归一化条件 确定:,一维势箱粒子薛定谔方程的解为,n：量子数； ：能级。,结论：,(1) 受束缚粒子的能级是量子化的。 (2) 对应于量子力学系统能量最低的量子态称为基态。基态能量称为零点能。一维势箱粒子的零点能不为零。 (3) 使波函数 为零的点称为 的节点。 的节点数为 。节点处粒子出现的概率为零。,2. 三维势箱中粒子,粒子在势箱中的势能函数为零，其它区域为无限大。,同一维势箱的情况一样，势箱外粒子的波函数为零：,势箱中粒子的波函数符合薛定谔方程,上述方程可通过分离变量法化为常微分方程组：,式中,，,上面三个方程分别对应于

10、x，y，z 三个方向上一维势箱粒子的薛定谔方程。,其解分别为：,因此，三维势箱中粒子的薛定谔方程的解为：,对比一维势箱中粒子，三维势箱中粒子新特点：,(1) 三维势箱中粒子的量子态由三个独立的量子数 ， 和 确定，如对于 ， 和 ：,简记为 ，即量子态可用量子数加以标记。量子数的个数与系统的自由度间存在一一对应关系。,(2) 当 时，出现多个量子态具有相同能量的现象，这种现象称为能级的简并。对应某一能级独立量子态的数目称为该能级的简并度。如能级 对应的独立量子态为 ， 和 ，因此该能级的简并度为3.,量子力学基本定理,如果一个系统的哈密顿算符 可以表示为若干子系统的哈密尔顿算符 之和，且各子系

11、统的变量间相互独立，即：,则系统的定态薛定谔方程,的解表示为：,式中 和 分别为子系统 i 的薛定谔方程,的本征值和本征函数。,8.3 一维谐振子,1. 经典力学处理,牛顿第二定律给出,该方程的解为 。,式中 为角频率。,能量分析：,势能 V(x)： ，积分得到,势能的零点选在振子的平衡位置 。,动能 T(x)：,总能量 E：,特点：,振子被限制在 的范围内运动，其动能和势能均可连续变化，但在振动的每一点，系统的总能量 E 为常数，正比于振幅 A 的平方,2. 量子力学处理,定态薛定谔方程：,方程的解：,：v 阶厄米多项式，具有递推性质：,抛物线为势能曲线，红色曲线为波函数图形。,结论：,(1

12、) 一维谐振子的零点能为 ；,(2) 一维谐振子相邻能级间间隔相同,(3) 波函数 有 v 个节点；,在 范围外 ，这种现象称为 隧道效应。,8.4 二体刚性转子,1. 二体问题,由两个质量分别为 和 ，坐标分别为 和 的粒子组成的系统。定义质心坐标 X,Y,Z 和相对坐标x，y，z 如下：,假定系统的势能 V 只依赖于粒子的相对位置，则 V 只是相对坐标的函数，即 。此时，系统哈密顿算符表示为,式中,此种情况下，系统哈密顿算符表示为相对运动和质心运动哈密顿算符之和：,2. 中心力场问题,更进一步，若系统势能 ( )，则其具有球对称性，这类问题称为中心力场问题。此类问题在球极坐标中求解是方便的

13、。,球极坐标中，拉普拉斯算符 表示为,因此，中心力场下系统的薛定谔方程为,令 ，代入上式，得到方程组：,径向方程,角度方程,角度方程的解：,式中,称为联属勒让德多项式。 称为球谐函数。,球谐函数 的标记,3. 二体刚性转子,二体刚性转子由两个相距固定距离 d，质量分别为 和 的粒子组成。根据定义： ， 。,薛定谔方程为,与中心力场问题的角度方程比较，得二体刚性转子的薛定谔方程的解：,式中 为二体刚性转子的转动惯量。,结论：,(1) 不同不同于势箱中粒子和谐振子，刚性转子零点能 为零。,(2) 刚性转子相邻能级间间隔随能级的升高而增大：,(2) 对于某一角量子数 J，磁量子数的取值为,即能级 J 为 2J + 1 重简并的：,8.5 氢原子及多电子原子的结构,1. 类氢离子的定态薛定谔方程及其解,类氢离子：核电荷为 Ze ，核外只有一个电子的离子。 Z = 1 时为氢原子。,高斯单位制下，系统的势能为,电子与核间的距离,这是一个典型的中心力场问题，其角度方程的解与二体刚性转子相同。径向薛定谔方程为,该方程的解为,