二重积分的计算方法利用极坐标计算

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1、2019年1月6日星期日,1,第二节 二重积分的计算方法,第八章,(Calculation of Double Integral),一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,三、小结与思考练习,2019年1月6日星期日,2,解法: 类似定积分解决问题的思想:,复习.求曲顶柱体的体积 I,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,2019年1月6日星期日,3,复习：直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,2019年1月6日星期日,4,其

2、中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例1 计算,2019年1月6日星期日,5,一、利用极坐标计算二重积分,对应有,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,2019年1月6日星期日,6,即,则,设,2019年1月6日星期日,7,2019年1月6日星期日,8,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,例3. 计算,2019年1月6日星期日,9,特别地, 对,若 f 1 则可求得D 的面积,2019年1月6日星期日,10,思考: 下列各图中域 D 分

3、别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),2019年1月6日星期日,11,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,例4 计算,2019年1月6日星期日,12,利用例4可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例6的结果, 得,故式成立 .,注:,2019年1月6日星期日,13,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,例5 求球体,2019年1月6日星期日,14,内容小结,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,2019年1月6日星期日,15,则,极坐标系情形: 若积分区域为,2019年1月6日星期日,16,课外练习,习题82 第二次作业 7（1）（2）(4)； 8； 11; 12(选做),