判断函数单调性常用方法

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1、1 江北观音桥步行街阳光城 16 楼 A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125 判断函数单调性的常用方法判断函数单调性的常用方法 一、定义法一、定义法 设 x1，x2 是函数 f(x)定义域上任意的两个数，且 x1x2，若 f(x1)f(x2)， 则此函数为增函数；反知，若 f(x1)f(x2)，则此函数为减函数. 【例 1】证明：当时，。0x)1ln(xx 证明：令0 11 1 1)()1ln()( x x x xfxxxf 所以，当时，所以为严格递增的0x0)( x f)(xf ，所以。0)01ln(0)0()(fxf)1ln(xx 二、性质法二、性质法 除

2、了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数 f(x)、g(x)在区间 B 上具有单调性，则在区间 B 上有： f(x)与 f(x)C（C 为常数）具有相同的单调性； f(x)与 cf(x)当 c0 具有相同的单调性，当 c0 具有相反的单调性； 当 f(x)、g(x)都是增(减)函数，则 f(x)g(x)都是增(减)函数； 当 f(x)、g(x)都是增(减)函数，则 f(x)g(x)当两者都恒大于 0 时也是增(减)函 数，当两者都恒小于 0 时也是减(增)函数； 三、同增异减法三、同增异减法 是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数 yf g(x)满

3、足 “同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 tg(x)，则三个函数 yf(t)、 tg(x)、yf g(x)中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数. 注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区 间上有相反的单调性； （2）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （3）如果 f(x)在区间 D 上是增（减）函数，那么 f(x)在 D 的任一子区间上也 是增（减）函数. 设单调函数为外层函数，为内层函数 )(xfy )(xgy (1) 若增，增，则增. )(xfy )(xgy )(xgfy 2 江北观音桥步行

4、街阳光城 16 楼 A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125 x y 2 1 (2) 若增，减，则减. )(xfy )(xgy )(xgfy (3) 若减，减，则增. )(xfy )(xgy )(xgfy (4) 若减，增，则减. )(xfy )(xgy )(xgfy 例 1. 求函数的单调区间. 2 2 2)( xx xf 教学意图教学意图：先让学生学会找出外层函数和内层函数然后再进一步教会学生如何求 此函数的单调区间.此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到 定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法. 解题过程： 外层函数： t y

5、2 内层函数： 2 2 xxt 内层函数的单调增区间： , 2 1 x 内层函数的单调减区间： 2 1 ,x 由于外层函数为增函数 所以，复合函数的增区间为： , 2 1 x 复合函数的减区间为： 2 1 ,x 四、求导法四、求导法 导数小于 0 就是递减，大于 0 递增，等于 0，是拐点极值点 求函数值域的常用方法 1观察法 用于简单的解析式。 y1x1,值域(, 1 y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1-1,值域(,-1)(-1,). 2.配方法 多用于二次(型)函数。 yx2-4x+3=(x-2)2-1-1,值域-1, ） 3 江北观音桥步行街阳光城 16 楼 A3/A4 Te

6、l：67867713 89312123 89312125 y=e2x-4ex-3=(ex-2)2-7-7,值域-7,） 3. 换元法 多用于复合型函数。 通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数 代数以方便求值域。 特别注意中间变量（新量）的变化范围。 y=-x+2( x-1)+2 令 t=(x-1), 则 t0, x=t2+1. y=-t2+2t+1=-(t-1)2+21,值域(, 1. 4. 不等式法 用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。 y=（ex+1）/(ex-1), (01/(e-1), y=1+2/(ex-1)1+2/(e-1).值域(1+2/(e

7、-1),). 5. 最值法 如果函数 f(x)存在最大值 M 和最小值 m.那么值域为m,M. 因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的. 6. 反函数法 有的又叫反解法. 函数和它的反函数的定义域与值域互换. 如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者 而得出前者. 7. 单调性法 若 f(x)在定义域a, b上是增函数,则值域为f(a), f(b).减函数则值域为 f(b), f(a). 8. 数形结合法 利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像法求函数的值域. 例 1 已知函数在区间上是增函数,求实数的 23 2 ( )4() 3 f xxaxxxR

8、1,1 a 取值范围. 解: 4 江北观音桥步行街阳光城 16 楼 A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125 说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函 数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则” ( ) 0fx ( ) 0fx 来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解. 类型题 1: 设函数,其中,求的取值范围,使函数 axxxf1)( 2 0aa 在上是单调函数. )(xf), 0( 类型题 2: 函数在上单调递增,求实数的取值范围. kx exy 2 ) 1 , 0( k 例 2 讨论下列函数单调性 （1

9、） （2） bkxxf)( x k xf)( 5 江北观音桥步行街阳光城 16 楼 A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125 类型题 1: 函数其中为实数），当时是 cbxaxxxf 23 )( cba,03 2 ba )(xf （ ） A、增函数 B、减函数 C、常数 D、既不是增函数也不是减函 数 类型题 2: 设函数 ( )(0) kx f xxek 求函数 ( )f x 的单调区间； 1. 下列函数中,在区间 上为增函数的是( ). A B C D 2函数 的增区间是（ ）。 A B C D 3 在 上是减函数，则 a 的取值范围是（ ）。 A B C

10、D 6 江北观音桥步行街阳光城 16 楼 A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125 4当 时，函数 的值有正也有负，则实数 a 的取值范 围是（ ） A B C D 填空题 1 在 都是减函数,则 在 上是_函数(填 增或减) 2函数 ,当 时,是增函数,当 时是 减函数,则 3已知 是常数),且 ,则 的 值为_ 4 函数 在 上是减函数,则 的取值范 围是_ 5若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是_ 6已知 在定义域内是减函数，且 ，在其定义域内判断下列 函数的单调性： （ 为常数）是_； （ 为常数）是_； 是_； 是_ 7设 ， 是增函数，

11、和 ， 是减函数，则 是_函数； 是_函数； 是_函数 解答题 1判断一次函数 单调性. 7 江北观音桥步行街阳光城 16 楼 A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125 2证明函数 在 上是增函数，并判断函数 在 上的单调性. 3判断函数 的单调性. 4求函数 的单调递减区间. 5函数 对于 有意义，且满足条件 ， ， 是非减函数，（1）证明 ；（2）若 成立，求 的取值范围 6函数 ， ，求函数 的单调区 间 7求证： 在 上不是单调函数 8根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函 数 9设 是定义在 上的增函数， ，且 ，求满足不等式 的 x 的取值范围

12、. 8 江北观音桥步行街阳光城 16 楼 A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125 课后习题答案 1D 2A 3A 4C 1减 213 31 4 5 6减函数；增函数；增函数；减函数 7减；减；增 1一次函数 的定义域是 R.设 ，且 ，则 . ，当 时， ，即 ；当 时， ，即 .综上，当 时，一次函数 是增函数；当 时，一次函数 是减函数. 2设 ，则由已知 ，有 ， ，即 .函数 在 上是增函数. 在 上都是增函数， ，即 在 上是增函数. 3函数的定义域是 .函数 在 上是增函数， 在 上是减函数， 在 上是减函数（“同增异减”） . 4由 得 或 .函

13、数的定义域是 .令 ，则 化为 在 上是增函数，求 的单调递减区间，只需求 的单调递减区间，且 满足 ，即满足. 的单调递减区间是 .由 和知，函数 的单调递减区间是 5解：（1）在 中令 ， ，则有 ，又 ， 9 江北观音桥步行街阳光城 16 楼 A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125 （2） ，利用 为非减函数，有 ，解之，得 6解：设 ， 当 时， 是增函数，这时 与 具有相同的 增减性，由 即 得 或 当 时， 是增函数， 为增函数； 当 时， 是减函数， 为减函数； 当 时， 是减函数，这时 与 具有相反的 增减性，由 即 得 当 时， 是减函数，

14、为增函数； 当 时， 是增函数， 为减函数； 综上所述， 的单调增区间是 和 ， 单调减区间是 和 7解：设 ，则 于是，当 时， ，则式大于 0； 故 在 上不是单调函数 8解：设 ， 且 ， 10 江北观音桥步行街阳光城 16 楼 A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125 则 ，且在 与 中至少有一个不为 0，不妨设 ，那么 ，故 在 上为减函数 其它证法：设 ， ，且 ， 则 ， 下面讨论 的符号 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 ； 综上可知 ， ，故 在 上是 减函数. 9依题意，得 又 ，于是不等式 化为 由 得 .x的取值范围是 . 11 江北观音桥步行街阳光城 16 楼 A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125