《动点到两定点距离的_和_差_积_商_轨迹探求》由会员分享，可在线阅读，更多相关《动点到两定点距离的_和_差_积_商_轨迹探求（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、动点到两定点距离的 “和 、差 、积 、商 ”轨迹探求浙江省绍兴鲁迅中学虞关寿（邮编 ：）动点与定点间的距离轨迹问题 ，是我们碰到过的最常见的问题之一 ，在教材中许多曲线的定义就涉及距离问题 ，比如圆的定义 、椭圆 、双曲线的定义等都是用距离方式给出的在历年高考与数学竞赛中涉及到距离的轨迹问题比比皆是在距离轨迹问题中经常会出现距离间的 “四则运算 ”，即距离间的 “加 、减 、乘 、除 ”本文想就一动点到两定点距离的 “和 、差 、积 、商 ”探求轨迹的形状 ，以及它们的一些简单的应用一动点到两定点距离之和一动点到两定点、距离之和（）若，则动点轨迹为线段；若，则动点轨迹为一个椭圆例已知圆：（）
2、，点（，），点是圆上的动点 ，线段的垂直平分线与线段交于点（）求动点的轨迹的方程 ；（）设（，），为抛物线：上的一动点 ，过点作抛物线的切线交曲线于、两点 ，求面积的最大值解（）由已知可得 ，点满足 槡，故动点的轨迹是一个椭圆 ，其中 槡，易得动点的轨迹的方程为 ：（）设（，），（，），（，），则的方程为（），即，联立方程，烅烄烆，消整理得 （）则（）， ， 烅烄烆，由弦长公式可得 槡（槡），点到直线的距离槡，则 槡（）槡 槡槡槡，当且仅当时 ，（）槡一动点到两定点距离之差一动点到两定点、距离之差的绝对值（）若，则动点轨迹为两条射线若，则动点轨迹为双曲线例如图 ，已知线段，动圆与线段切于点，且
3、 槡，过点、分别作圆的切线 ，两切线相交于，且、均在同侧 ，建立适当的坐标系 ，当圆心位置变化时 ，求动点的轨迹方程解设与圆切于点，与圆切于点，由圆的几何性质可知 ， 槡，故点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支 （去掉一点 ）以所在直线为轴 ，的中点为坐标原点 ，建立直角坐标系 ，设（，），则（，），（，）， 槡，故动点的轨迹方程为（槡）一动点到两定点距离之积中学数学教学年第期一动 点到 两 定 点、距 离 之 积 （）动点的轨迹为卡西尼卵形线对于常数，可讨论如下六种情况 ：（不妨设）（）当时 ，图象变为两个点、；（）当时 ，图象分为两支封闭曲线 ，随着的减小而分别向点、收缩 ；（）当时 ，图象成
4、字形自相交叉 ，称为双纽线 ；（）当槡时 ，图象是一条没有自交点的光滑曲线 ，曲线中部有凹进的细腰 ；（）当槡时 ，与前种情况一样 ，但曲线中部变平 ；（）当槡时 ，曲线中部凸起例（年高考北京卷 ）曲线是平面内与两个定点（，）和（，）的距离的积等于常数（）的点的轨迹给出下列三个结论 ：（）曲线过坐标原点 ；（）曲线关于坐标原点对称 ；（）若点在曲线上 ，则的面积不大于其中正确命题的序号为解设两定点为、，且 ，动点满足 （且为定值 ），取直线作为轴 ，的垂直平分线为轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ，设（，），则（）槡（）槡，整理得（）（），解得（） 槡（），此即为曲线的方程对，可分六种情
5、况讨论 ，画出的图形如下 ：本题中，故由图即可知是正确的一动点到两定点距离之商平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是 ：若，动点的轨迹为这两点的中垂线若，动点的轨迹是一个圆 ，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆 ”这是一个很有趣的圆 ，下面的一个实例是它的 “逆向 ”问题 ：例在轴正半轴上是否存在两点、使得上任意一点到、两点的距离之比为常数？ 如果存在 ，求出点、坐标 ；如果不存在 ，请说明理由解假设在轴正半轴上存在两点、满足要求 ，（，）、（，）、（，），其中，（）槡（）槡，得（）（）因为所以（），这个式子对，恒成立 ，则 ， 烅烄烆又，故 ， 烅烄烆即存在两点（，）、（，）由此 ，我们可得阿波罗尼
6、斯圆是一个重要定理 ：定 理、为 两 已 知点 ，、分别为线段的定比为（）的内 、外分点 ，则以为 直径的 圆上任意点到、两点的距离之比等于常数（如图 ）证明以为例 ，设，过作圆与 直径垂直的弦，则，由相交弦定理及勾股定理有 ： ，故槡 ，槡 ，且从而、同时在到、两点距离之比等于的曲线 （即圆 ）上 ，而不共线的三点 所确定的圆是唯一的 ，因此 ，圆上任意点到、两点的年第期 中学数学教学距离之比等于常数例（年高考江苏卷 ）在中 ，已知，槡，则面积的最大值 是解以的中点为原点 ，为轴建立直角坐标系（，），（，），设（，），易知的轨迹为 （）故 （） 槡 槡例如图 ，已知平面平面，、是平面与平面的
7、交线上 的两定点 ，且，在平面上有一动点，使得，则的面积的最大值为解在中 ，在中 ，则以所在直线为轴 ，的中点为坐标原点 ，建立 直 角 坐 标 系 ，则（，），（，），设 点（，），则 （）槡（）槡，整理 可 得 过 点的阿波罗尼斯圆方程为（），故 （） 例（北京市高中生数学知识应用竞赛 ）如图 ，铁路上线段，工厂到铁路的距离，现要在、之间某一点处向修一条公路已知每吨货物运输的铁路费用与公路费用之比为，为了使原料从供应站运到工厂的费用最少 ，点应选在何处 ？解建立如图 所 示 直 角坐标系先求到定点、的距离之比为的动点（，）的轨迹方程即槡（）槡，整理得令 ，得 （舍 去 正 值 ）得（，），
8、下面证明此点即为所求的点过点作延长线的垂线 ，垂足为，在线段上任取点，连接，再作于设每吨货物运输的铁路费用为（），则每吨货物运输的公路费用为如果选址在处 ，那么总运输费用（）由 ，得， ，那么总费用（）（）（），当且仅当、共线时取等号综上 ，点即为所求的点例（年高考江苏卷 ）如图 ，在平面直角坐标系中 ，点（，），直线：设圆的半径为，圆心在上（）若圆心也在直线上 ，过点作圆的切线 ，求切线方程 ；（）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围解（）由题设 ，圆心是两直线和的交点 ，解得（，），于是切线斜率必存在 ，设过（，）的圆的切线方程为，由题得槡 ，解得或，故所求的切线方程为或；（）因圆心在直线上 ，则圆心的坐标设为 （，（），设点（，），由可知 ，点的轨迹应是一个阿波罗尼斯圆 ，其圆方程为（）由题知 ，点（，）在 圆上 ，所 以 两 个 圆 应 有 公 共 点 ，从而，即（）槡，整理得，烅烄烆，解得所以点的横坐标的取值范围是 ，（收稿日期 ：）中学数学教学年第期
