《复变函数与积分变换复习(期中复习考试阶段)-2014-2015-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换复习(期中复习考试阶段)-2014-2015-1（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复变函数与积分变换课程 (70L148Q) (Complex Functions and Integral Transform) 复变函数与积分变换 Xiaoming Huang 北京交通大学理学院 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 2 期中考试阶段复习 20142014- -20152015学年第一学期学年第一学期期中考试阶段期中考试阶段 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 期中考试安排期中考试安排 内容：内容：第第1 1- -4 4章章 时间：时间：第第9 9
2、周周日（周周日（1111月月2323日）日） 下午下午2:302:304:304:30 地点地点：考场考场 人数人数 学号学号 _ SX201 84 11211117 - 13211132 SX203 71 13211133 - 13212061 SX204 84 13212062 - 13213038 SX302 71 13213039 - 13292023 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 4 第一章 复数与复变函数 1. 复数代数运算复数代数运算 2. 复数的各种表示法复数的各种表示法 3. 乘幂与方根运算公式乘幂与方根运
3、算公式 4. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域复数方程表示曲线以及不等式表示区域 1.1.复数复数 ( (一般表示，三角表示，指数表示一般表示，三角表示，指数表示，模，模) ) 2.2.复数的四则运算，幂与方根，单连通域的概念。复数的四则运算，幂与方根，单连通域的概念。 3.3.复变函数：主要考察把曲线从复变函数：主要考察把曲线从xyxy平面映到平面映到uvuv平面的象的平面的象的 求法。求法。 重点重点：解解复数的表示方法，幅角主值，函数复数的表示方法，幅角主值，函数 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 5 21 1 1 n
4、n 设是任意一个不等于 的 次单位根，求 的值。 例例1.1. 解解 1 n 因为因为 12 1 n 所以所以 . 0 1 1 n 例题选讲 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 6 2 .4(49 )0zizi解方程。例例2 2 解解 . 0)94(4)2(4 22 iiizz原方程为原方程为 iiz9)2( 2 即即 iiz92 于是于是 1 , 0, 2 2 2 sin 2 2 2 cos3 k k i k , 2 23 2 2 23 1 iz 故故. 2 23 2 2 23 2 iz 7 ; 0)(I)1( m z ;)(I
5、)2( m z 例例3 3. 满足满足下列条件的点组成何种图形下列条件的点组成何种图形?是不是区是不是区 域域?若是区域请指出是单连通区域还是若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域。多连通区域。 解解 是实数轴是实数轴,不是区域不是区域. 0)(Im z x y O 是是以以 为为界的带形单连通区界的带形单连通区 域域. , y y 解解 )(Imz 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 8 622)3( zz ：是是以以 为焦点为焦点,以以3为半为半 长轴的椭圆闭区域长轴的椭圆闭区域,它不是区它不是区 域域. 2 32, 3 2
6、 arg 3 )4( zz且且 3 2 arg, 3 arg zz 解解 解：解：不是区域，因为图不是区域，因为图中中 在圆环内的点不是内点在圆环内的点不是内点. o y 2 3 x o x y 3 2 2 3 9 例例4 4 . 函数函数 将将 平面上的下列曲线变成平面上的下列曲线变成 平平 面上的什么曲线面上的什么曲线？ zw1 zw 22 (1)9, (2)2xyx 解解 9 2 22 zyx因为因为 又又 iyxz w 11 于是于是 iyxivuw 9 1 9 1 yvxu 9 1 , 9 1 2222 11 () 819 uvxy表示表示 平面上的圆平面上的圆. w 22 yx i
7、yx ),( 9 1 iyx (1) 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 10 . 2)2( x 解解 iyiyxz 2因为因为 iyz w 2 11 所以所以 22 4 , 4 2 y y v y u 22 2 22 )4( 4 y y vu 因为因为 0 2 22 u vu所以所以 表示表示 平面上以平面上以 为圆心，为圆心， 为半径的圆为半径的圆. w 0, 4 1 4 1 ivu y iy 2 4 2 , 24 1 2 u y 16 1 4 1 2 2 vu 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xia
8、oming Huang, BJTU 11 1. 解析函数的概念；解析函数的概念； 2. 函数解析性的判别（函数解析性的判别（C-R方程）方程） 3. 几个常用初等函数几个常用初等函数 第二章 解析函数 重点重点：解析函数解析函数的概念，的概念，C CR R方程方程 1.1.解析函数：主要考察定义和解析函数：主要考察定义和P41P41页的定理一和二页的定理一和二 (C(CR R方程方程) ) 2.2.几个重要的初等函数的表达式几个重要的初等函数的表达式( (指数函数，对数指数函数，对数 函数，乘幂函数，乘幂 函数与幂函数，三角函数与双曲函数函数与幂函数，三角函数与双曲函数) ) 本科生公共课程：
9、 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 考试内容复习考试内容复习： 1. 复数复数 (一般表示，三角表示，指数表示，实部，虚部，模一般表示，三角表示，指数表示，实部，虚部，模) 2. 复数的四则运算，幂与方根，单连通域的概念。复数的四则运算，幂与方根，单连通域的概念。 3. 复变函数：主要考察把曲线从复变函数：主要考察把曲线从xy平面映到平面映到uv平面的象的求平面的象的求 法。法。 第一章：第一章： 第二章：第二章： 1.1.解析函数：主要考察定义和解析函数：主要考察定义和P41P41页的定理一和二页的定理一和二(C(CR R方程方程) ) 2.2
10、.几个重要的初等函数的表达式几个重要的初等函数的表达式( (指数函数，对数函数，乘幂指数函数，对数函数，乘幂 函数与幂函数，三角函数与双曲函数函数与幂函数，三角函数与双曲函数) ) 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 13 初等解析函数 1)1)指数函数指数函数 .)sin(cos . 的指数函数的指数函数为为称称 设设 zyiyee iyxz xz 定义定义 ; 0, 0,)( zxz eeeza则则对任意复数对任意复数性质性质 ;)(,)( zzz eezeb 而且而且平面上处处解析平面上处处解析在在 ;)( 2121 zzz
11、z eeec .2)(为周期的周期函数为周期的周期函数是以是以ied z 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 14 2 2) )三角函数三角函数 ., 2 cos ., 2 sin 余弦函数余弦函数 正弦函数正弦函数定义定义 称为称为 称为称为 iziz iziz ee z i ee z .cos,sin)1(是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数zz 性质性质 .cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .sincos)3(zize iz .2)2(为周期为周期以以正弦函数和余弦函数
12、都正弦函数和余弦函数都 初等解析函数 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 15 (4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数 (sin )cos ,(cos )sin .zzzz . cos sin tan正切函数正切函数定义定义称为称为 z z z .cos,sin, 1cossin)5( 22 不是有界函数不是有界函数但但zzzz ).tan()tan(:tan)1(zzz 是奇函数是奇函数 性质性质 .tan)tan( :tan)2( zz z 为周期的周期函数为周期的周期函数是以是
13、以 初等解析函数 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 16 其它复变三角函数的定义其它复变三角函数的定义 , sin cos cot z z z 余切函数余切函数 , cos 1 ec z zs 正割函数正割函数 . sin 1 csc z z 余割函数余割函数 . cos 1 )(tantan)3( 2 z zz 在解析区域有在解析区域有 初等解析函数 本科生公共课程： 复变函数与积分变换 (73L152Q) Xiaoming Huang, BJTU 17 3 3）对数函数）对数函数 .Ln , )( )0( zw zfwzze w 记为记为称为对数函数称为对数函数 的函数的函数满足方程满足方程 因此因此 zizzwArglnLn ikziz 2argln)., 2, 1, 0( k 所以所以支支的的数数 称为对数函称为对数函其中其中 ),(Ln )arg(arglnln 主值主值z zzizz
