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1、2017/11/24,流体力学基础,1,1 描述流体运动的两种方法流体运动特点：流体是由无限多个流体质点所组成的连续介质，则流体的运动是由充满整个运动空间的无限多个流体质点的运动所构成。描述流体运动：流动参数：表征运动流体的物理量，如速度、压强、动量等；描述流体运动：表达这些流体参数在各个不同的空间位置上随时间连续变化的规律；两种方法：拉格朗日方法、欧拉方法 一、拉格朗日方法 （Lagrange）、质点系思路：由于组成流体的无数流体质点连续而无间隙地占据着整个流体空间，因此，整个流体的运动情况可以认为是流体中每一个个别流体质点运动的综合。,1 描述流体运动的两种方法,2017/11/24,流体
2、力学基础,2,Lagrange法定义研究组成整个运动流体的每一个流体质点（微团）的运动情况，认为流体的整个运动是每一个流体质点（微团）运动的组合；通过追踪流场中每个流体微团的运动规律，来描述流体的运动特性；特点：以流体微团（即流体质点）本身为研究对象 理论力学中离散质点运动描述方法在流体力学中的延续 具体应用方式流体微团的标识：通常取 t0 时刻该流体微团的初始空间坐标（a, b, c ）作为该流体微团的标识 （a, b, c ）可以是直角坐标系下，也可以任选，只要能把所研究的流体微团彼此区别开即可,1 描述流体运动的两种方法,2017/11/24,流体力学基础,3,拉格朗日变数 ： ( a,
3、 b, c ) 和 t任一时刻流体微团(a, b, c )的运动空间坐标（x，y，z） x=x (a, b, c t ) y= y (a, b, c t ) z= z (a, b, c t )当 上式中(a, b, c ) 固定时，上式表示该点在不同时刻的位置，即流体质点的轨迹方程当 t 固定， (a, b, c )不固定时，上式表示某一时刻各质点所处的空间位置，即位置分布速度与加速度是同一流体质点在单位时间内的位移变化速率和速度变化速率，可对上式直接求导得到：,2017/11/24,流体力学基础,4,对指定微团拉格朗日变数是常量，与时间无关，所以速度和加速度都是对时间的偏导数 同样，可以用拉
4、格朗日方法描述流场中其他物理量的变化规律，如： p = p ( a, b, c , t ) = ( a, b, c , t ) T = T ( a, b, c , t ) 二、欧拉方法 （Euler）、控制体思路：对于某一时刻，流场的各空间点上都有一个流体质点（或微团）占据着该位置 ，流体质点的运动状况就表征了该空间点在该时刻的流动特性。因此，整个流动空间中的运动状况可以认为是每一个空间点在每一时刻其运动流动参量变化特性的综合。,2017/11/24,流体力学基础,5,Euler定义：研究流体所占据的空间中每一个固定点上流体的运动情况在空间的每一点描述出流体运动参数随时间的变化情况，即研究各个
5、物理量的场；以数学场为基础、着眼于任何时刻物理量在场上的分布规律的流体运动描述方法叫作欧拉法。特点：以空间点（控制体）为研究对象在流场的各空间点上描绘出流体运动随时间的变化状况具体应用方式：在选定的坐标系（如直角坐标系）指定的空间位置上记录各种物理量的变化规律描述流体物理量的数学表达式将是空间坐标和时间的函数 v = v ( x, y, z, t ) p = p ( x, y, z, t ) = ( x, y, z, t ),2017/11/24,流体力学基础,6,欧拉变数： ( x, y, z, t )x, y, z, 与 t 是相互独立的变量当x, y, z, 固定时，上式代表了空间各固定
6、点上物理量随时间的变化规律当 t 固定时，它代表了该时刻物理量在空间的分布优点：欧拉法中，速度、密度、压强等物理量都是空间点坐标x, y, z的函数，因此研究的是速度场、密度场、压强场等物理量场；将研究流体运动的问题转化为研究一些有关的矢量场（如速度场）和标量场（如密度场）的问题若场内的函数不依赖于空间位置x, y, z, 则称之为均匀场，反之则称为不均匀场；若场内的函数不依赖于时间 t ，则称之为定常场，反之则称为不定常场,2017/11/24,流体力学基础,7,拉格朗日法 欧拉法,当地法站岗法,描述方法,随体法质点法,1.分类,2.比较,分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数,
7、表达式复杂 表达式简单,不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布,不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性,拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法,描述流体运动的数学方法,2017/11/24,流体力学基础,8,拉氏参数(a,b,c,t)各自独立 欧氏参数(x,y,z,t)不是相互独立,系统 控制体,拉格朗日法 欧拉法,System is a fixed mass of fluid, its boundaries may change with time.,A Control Volume is a region in space, mass can cr
8、oss its boundary,2017/11/24,流体力学基础,9,2 流体运动中的几个基本概念一、物理量的质点导数（全导数）运动中的流体质点所具有的物理量N（例如速度、压强、密度、温度、质量、动量、动能等）对时间的变化率称为物理量N的质点导数。流体质点处于静止状态，则不存在质点导数概念；质点导数是针对某一物理量；质点导数必然是数学上多元复合函数对独立自变量t的导数,2017/11/24,流体力学基础,10,流体质点M，携带物理量N（x,y,z,t）t时刻从A(x,y,z)以v=vx(t)i+vy(t)j+vz(t)k 经t运动至B点(x+ x,y + y,z + z),由于流场非定常性
9、和非均匀性物理量N经历了时间t与空间s= xi + yj +zk的变化s与t长短相关，则N (x,y,z,t)=N(x(t),y(t),z(t),t),复合求导：,2017/11/24,流体力学基础,11,因为位移对时间的导数就是质点的速度,质点导数可以写成：,称为当地导数（局部导数、时变导数），表示在同一位置（没有空间变位）时物理量N随时间的变化率，反映了流场的非定常性；迁移导数（位变导数），表示不同位置（迁移）上物理量的差异引起的变化率，反映流场的不均匀性。,2017/11/24,流体力学基础,12,欧拉方法表示的流体加速度加速度：同一流体质点的运动速度随时间的变化率欧拉速度表达式： v
10、= v ( x, y, z, t ) 仅代表了该时刻进入该位置的流体点的速度，下一时刻将是另一流体质点进入该位置时取得的速度故在同一空间点上不同时刻所获得的速度变化率不是在同一流体质点上观察到的但上式获得的流体速度仍是属于某流体质点的，将该流点的拉格朗日参数代入，则v = v x( a, b, c, t ), y( a, b, c, t ), z( a, b, c, t ), t 上式表示了在固定位置上观察到的速度是属于某个质点的速度，则流体质点的加速度将是：,2017/11/24,流体力学基础,13,这就是欧拉方法表示的流体加速度；第一部分称为当地加速度，它表示在同一位置流体质点随时间的变化
11、率，这是由流场不定常性引起的；第二部分称为 迁移加速度，它表示在同一时间由不同地点的流体速度差异产生的速度变化率，这是由流场的空间不均匀性引起的。,2017/11/24,流体力学基础,14,流场中用欧拉方法表示的其他物理量的变化率同样可以表示为当地变化率和迁移变化率之和；如温度随时间的变化律：质点导数的理解例1：水面保持，定常流动AB定常均匀流BC定常非均匀流迁移加速度水面下降，非定常流动AB非定常均匀流BC非定常非均匀流当地、迁移加速度,2017/11/24,流体力学基础,15,质点导数的理解例2：山洞内外温度不同，某人从山洞外走进山洞内，在进入洞口的一刹那，有人扔来的雪球击中了他的胸口，如
12、何理解此人胸口所占据的空间位置的温度变化率洞内外温差引起的温度变化迁移导数-流场的空间不均匀性雪球击中引起的温度变化当地导数-流场不定常性,2017/11/24,流体力学基础,16,二、欧拉法与拉格朗日法之相互转换两种方法从不同观点出发描述了流体运动，两者实质上是等价的，两者可以相互转换；两者之间联系：空间坐标拉格朗日参数转换为欧拉参数拉氏法表示的流体质点的运动规律为：r=r(a, b, c, t) （1）r为流体质点的空间矢径。于是流体质点的速度为：反解（1）式得：a= a(r, t)=a (x, y, z, t)b= b(r, t)=b (x, y, z, t) (3)c= c(r, t)
13、=c (x, y, z, t)将（3）式代入（2）式得v = va(r, t), b(r, t) c(r, t), t = v (r, t)此速度已转换成欧拉参数表示,2017/11/24,流体力学基础,17,欧拉参数转换为拉格朗日参数若已知欧拉法表示的速度场为v = v (r, t) = v (x, y, z, t )利用流体质点的速度关系式： dr/dt = v(r, t)或分量形式： dx/dt = u(x, y, z, t) dy/dt = v(x, y, z, t) dz/dt = w(x, y, z, t)设此组常微分方程组的解为：x = x(c1, c2, c3, t) y =
14、y(c1, c2, c3, t) z = z(c1, c2, c3, t)由起始条件确定积分常数，t=t0时有：a = x(c1, c2, c3, t0) b = y(c1, c2, c3, t0) c = z(c1, c2, c3, t0)积分常数由拉格朗日参数（a, b, c）表示，获得拉氏与欧氏参数关系：x=x (a, b, c, t), y=y (a, b, c, t), z=z (a, b, c, t), 原速度场：v = v x(a,b,c,t), y(a,b,c,t), z(a,b,c,t), t = v (a,b,c,t)完成欧氏参数向拉氏参数转换,2017/11/24,流体力
15、学基础,18,例B2.1.2 由速度分布求质点轨迹,求： 在t = 0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。,求解一阶常微分方程（a）可得,已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为,(a),(b),上式中c1 ，c2 为积分常数，由t = 0时刻流体质点位于 ,可确定 ，代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为,2017/11/24,流体力学基础,19,2017/11/24,流体力学基础,20,三、迹线、流线、流管与流量具体应用上述描述方法描述流场的常用概念1、迹线：流体质点在流场中运动的轨迹； 拉格朗日法描述流体运动规律的具体体现表示了同一质点在运动过程中描述出来的运动规律的几何图像实质是寻找拉格朗日参数下的质点运动规律带参数t 迹线方程：r = r (a, b, c, t )消去参数后即是流体质点的轨迹线方程如流场是以欧拉参数给出的，即给定：V = V (r, t )则必须将欧拉参数转换为拉格朗日参数,
