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1、I特征函数及其应用摘 要在概率论和数理统计中, 求独立随机变量和的分布问题是经常遇到的，经过人们不断的探索和研究，终于发现了另一个重要工具特征函数，它是处理许多概率论问题的有力工具，它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，本文介绍了特征函数的基本概念、主要性质以及特函数的一系列应用.关键词 随机变量 特征函数 积分IIABSTRACTIn probability theory and mathematical statistics, find the distribution of independent random variables and the probl
2、em is often encountered after people continue to explore and research, finally found another important tool - characteristic function, it is to deal with many problems of probability theory powerful tool, it can seek independent random variables and the distribution of convolution (integral computat
3、ion) into a multiplication, this article introduces the basic concepts of characteristic function, the main character and the special function of the number of applications.Key Words Random variable ,Characteristic function ,IntegrationIII目 录一、引言 .1二、特征函数的定义 .2三、常用分布的特征函数 .2四、特征函数的主要性质 .3五、特征函数的应用 .
4、6六、结论 .10参 考 文 献 .11致 谢 .121特征函数及其应用一、引言随机变量是数学研究中经常遇到的一项重要内容。随机变量的分布函数则可以全面的描述随机变量的统计规律，但是，有时候分布函数或分布密度这些工具使用起来并不方便，如求独立随机变量和的分布密度，用卷积求太烦琐和复杂，这里将从介绍特征函数的定义、性质出发, 介绍如何用特征函数更方便、优越的表示随机变量的分布, 并在随机变量的基本性质引导下, 讨论并阐述特征函数的各种应用. 特征函数也是概率论中研究极限定理的重要工具。.2二、特征函数的定义设 是一个随机变量，称X, ,itXett为 的特征函数.因为 ，所以 总是存在的，即任一
5、随机变量的特征函数总 iteitXe是存在的.当离散随机变量 的分布列为 ，则 的特征函,321,PpkkxXX数为, .1kkitxpett当连续随机变量 的密度函数为 ,则 的特征函数为XX, . etkit t与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.三、常用分布的特征函数1、单点分布： 其特征函数为.1PaXetita2、 分布： ，其特征函数为0,10xpx1，其中 .qetitp3、泊松分布 ： ，k=0,1 ， ，其特征函数为PkX！ 3. 0k 1eit ititeet ！4、均匀分布
6、：因为密度函数为baU,.;,01其 他 bxabxp所以特征函数为.baiatibtitxede5、标准正态分布 ：因为密度函数为1,0N， .2xexpx所以特征函数为dxittxit eedx 22211= .ittt ze222其中 .itxdze2四、特征函数的主要性质现在我们来研究一下特征函数的一些性质，其中 表示 的特征函txX数.1、 .10t证明 eeitxit= .102、 ,其中 表示 的共轭.ttt4证明 = .eet ititt3、若 Y= ,其中 ， 是常数，则baXab.tetXitY证明 .atet ibiatibtaXitY 4、独立随机变量和的特征函数为特征
7、函数的积，即设 与 相互独立，XY则.ttYXYX证明 因为 与 相互独立，所以 与 也是相互独立的，从而有Xiteit. te YXitYitXitYXYit 5、若 存在，则 的特征函数 可 次求导，且对 1 k ,有LtLL.kki0证明 因为 存在，也就是LX，L于是含参变量 的广义积分 可以对 求导 次，于是对teitxtL，有Lk0,itXkitxkk eidpet令 =0 即得t.kki06、一致连续性 随机变量 的特征函数 在（ ）上一致连续.Xt,证明 设 是连续随机变量（离散随机变量的证明是类似的） ，其密度X函数为 ，则对任意实数 ， 和正数 a0,有xpthet iti
8、x15eihx1.aaxix2对任意的 ，先取定一个充分大的 ，使得0，axdp22然后对任意的 x ，只要取 ，则当 时，便有,hxhiixhiihxee2212 .sina从而对所有的 t ，有,，atht 2即 在 上一致连续.tR7、非负定性 随机变量 的特征函数 是非负定的，即对任意正整Xt数 ，及 个实数 和 个复数 ，有nntt,21 nz,21.nkj jkjt10证明 设 是连续随机变量，其密度函数为 ，则有Xxp=nkj jkjzt1njjkz1dextijk=nkjjk1pxtijk= dezzxitnjnkxitjk11= .021penkxitk68、唯一性定理 随机
9、变量的分布函数有其特征函数唯一确定.证明 对 的每一个连续点 ，当 沿着 的连续点趋于 时，xFxyxF由逆转公式得，而分布函数由其连续点上的值惟一TitxityTy dex21lim决定，故结论成立.9、若 为连续随机变量，其密度函数为 ，特征函数为 ，如果Xxpt，则dt.dtexpitx21证明 记 的分布函数为 ，由逆转公式知XFxx0lim= .dtitexititx 21li0再次利用不等式 ，就有 .aei1xititit又因为 ，所以可以交换极限号和积分号，即dtdtxitexpititx0lm21= .dit5、特征函数的应用1、在求数字特征上的应用求 分布的数学期望和方差.
10、2N，由于 的分布的特征函数为 ,， 2tiet7于是由 得，kki0,i0i,22由此即得.22D，我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差, 要比从定义计算方便的多.2、 在求独立随机变量和的分布上的应用利用归纳法, 不难把性质 4 推广到 个独立随机变量的场合,而n是 个相互独立的随机变量 , 相应的特征函数为n21，的特征函数为 .n1itt ， 则， n1itt设 是 个相互独立的，且服从正态分布 的正态,21j， 2Njja，随机变量.试求 的分布.n1j由于 的分布为 ，故相应的特征为 .j 2Njja， 2tiajjet由特征函数的性质 的特征函数为可 知njjtt1.
11、211211 ttainjnjtiaj njnjjett 而这正是 的特征函数.njjjaN12,由分布函数与特征函数的一一对应关系即知 服从 .njjjaN12,83、 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在 重贝努力实验中，事件 A 每次出现的概率为 p(0p1)， 为 次n n试验中事件 A 出现的次数，则.dtexnpqPxn 21lim要证明上述结论只需证明下面的结论，因为它是下面的结论一个特例.若 是一列独立同分布的随机变量，且,21则有,21,02kDakk.dtexnaPxnkn 211lim证明 设 的特征函数为 则ak,t的特征函数为nknka11nt又因为 所以,02Dakk 20,于是特征函数 有展开式t.
