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1、第三章 多维随机变量及其分布,二维随机变量边缘分布条件分布相互独立的随机变量两个随机变量的函数的分布,一、 多维随机变量,定义 将n个随机变量X1，X2，.,Xn构成的一个n维随机向量 (X1,X2,.,Xn)称为n维随机变量。,一维随机变量XR1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标,1 二维随机变量,多维随机变量的研究方法也与一维类似，可用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。,定义 设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=PXx, Yy为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。
2、,二、联合分布函数,几何意义：分布函数F(x, y)表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如右图阴影部分：,对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则 Px1X x2， y1yy2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).,(x1, y1),(x2, y2),(x2, y1),(x1, y2),分布函数F(x, y)具有如下性质：,(1) 归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1, 且,(2) 单调不减 对任意yR, 当x1x2时, F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意xR, 当y1y
3、2时, F(x, y1) F(x , y2).,(3) 右连续性 对任意xR, yR,(4) 矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。,例 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,（1）求常数A，B，C；（2）求P0X2,0YY。,G,解：,求：(1)常数A；(2) F(1,1)；(3) (X, Y)落在三角形 区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率
4、。,例 设,解：(1) 由归一性,(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6内的概率。,(1)二维均匀分布 U(D) 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为 则称(X, Y)在区域D上(内)服从均匀分布。,易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有,3、两个常用的二维连续型分布,例 设(X,Y)服从如图区域D上 的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求PY0、20、| |1，则称(X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为,若二维随机变量(X, Y)的密度函数为,(2)二维正态分布N(1, 2, 1, 2,
5、),FY(y)F (+, y) PYy 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.,2 边缘分布,FX(x)F (x, +) PXx,称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；,边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。,一、边缘分布函数,已知(X,Y)的分布函数,求FX(x)与FY(y)。,EX,二、边缘分布律,定义 若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称PXxipi. ，i1, 2, 为(X, Y)关于X的边缘分布律；,同样，称PY yjp.j ，j1, 2, 为(X, Y)关于Y的边缘分布律
6、。,边缘分布律自然也满足分布律的性质。,已知(X,Y)的分布律为 xy10 11/103/10 0 3/10 3/10求X、Y的边缘分布律。,xy 1 0 pi. 11/103/10 03/103/10 p.j,因此, 关于X和Y的分布律分别为： X 1 0Y 1 0 P 2/53/5P2/53/5,2/5,3/5,2/5,3/5,解：列表如下,EX,三、边缘密度函数,为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。,定义 设(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 则称,为(X, Y)关于X的边缘密度函数；同理，称,易知N(1,2,12,22,)的边缘密度fX(x)是N(1, 12)的密度函数
7、，而fY(y)是N(2, 22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。,设(X,Y)的概率密度,(1)求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度.,解:(1)由归一性,EX,定义 设F(x,y)及FX(x),FY(y)称分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，如果对任意实数x, y，有PXx,Yy=PXxPYy即事件Xx与事件Yy独立，则称随机变量X与Y相互独立。,显然,上述定义表明随机变量X与Y独立的充分必要条件是F(x,y)=FX(x)FY(y),4 相互独立的随机变量,定理 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y
8、);,由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可。,定理 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则X与Y独立的充分必要条件是:对任意i,j，pi,j=pi.p.j。,试分别判断X与Y是否相互独立。,例,(1)设(X,Y)的分布律为,xy10 11/103/10 0 3/10 3/10,(2)设(X,Y)的分布律为,解:分别求其边缘密度并由前述定理知：(1)中X与Y不相互独立 ；(2) 中 X与Y相互独立,例 已知随机变量(X,Y)
9、的分布律为,且已知X与Y独立，求a、b的值。,例 甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率。,分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1, X2, , Xn)，称F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)为n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数，或随机变量X1, X2, , Xn的联合分布函数。,同一维随机变量一样，按离散型和连续型随机变量的分类，分别对n维随机变量(X1, X2, , Xn)的联合分布律和联合密度给如下定义：,n维随机
10、变量的边缘分布与独立性,定义 若(X1,X2,.Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，则称(X1,X2,.Xn)为n维离散型随机变量，并称PX1=x1,X2=x2,.Xn=xn ，(x1,x2,.xn）为n维随机变量(X1,X2,.Xn)的联合分布律。,定义 n维随机变量(X1,X2,.Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,.xn)使对任意的n元立方体,都有,则称(X1,X2,.Xn)为n维连续型随机变量，并称f(x1,x2,.xn)为(X1,X2,.Xn)的联合概率密度。,定义 设F(x1,x2,.xn)为n维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布函数，则 (X1,X2,
11、.Xn)的k（1kn)维边缘分布函数就随之确定，比如，它关于(X1,X2）的边缘分布函数FX1, X2(x1,x2)=F(x1,x2,.,)记Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,n, 若,则称X1, X2, ., Xn 相互独立。,模仿二维情形，对n维随机变量 (X1, X2, , Xn)的相互独立性给出如下定义：,同样，对于离散型随机变量的情形，若对任意整数i1, i2, , in及实数 ，有,则离散型随机变量X1, X2, , Xn相互独立。,对于连续型随机变量情形，即(X1，X2，Xn)为n 维连续型随机变量，若对任意(x1, x2, , xn)Rn，f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn)则X1，X2，Xn相互独立。,定义 设FX(x1,x2,.xn)为n维随机变量(X1,X2,.Xn)的分布函数，FY(y1,y2,ym)为m维随机变量(Y1,Y2,Ym)的分布函数。记 X1,X2,.Xn 和 Y1,Y2,Ym 组成的 n+m维随机变量（X1,X2,.Xn ,Y1,Y2,Ym) 的分布函数为 F(x1,x2,.xn, y1,y2,ym)。如果F(x1,x2, .,xn,y1,y2,ym) = FX(x1,x2,.,xn)FY(y1,y2,ym)则称随机变量(X1,X2,.Xn)与(Y1,Y2,Ym)相互独立。,
