《2018-2019学年高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式本章复习导学案 新人教b版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式本章复习导学案 新人教b版选修4-5（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 数学归纳法与贝努利不等式本章复习课1.理解数学归纳法原理，会用数学归纳法证明与正整数有关的等式、不等式、整除性问题和几何问题.2.会用数学归纳法证明绝对值不等式、均值不等式、柯西不等式和贝努利不等式，会用贝努利不等式证明有关的简单问题.知识结构知识梳理1.数学归纳法及其原理数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方法.即先证明当n取第一个值n0(例如n01)时命题成立，然后假设当nk (kN*，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立.这种证明方法叫做数学归纳法.2.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第
2、一步(归纳奠基)nn0时结论成立.第二步(归纳递推)假设nk时，结论成立，推得nk1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.3.运用数学归纳法时易犯的错误(1)对项数估算的错误，特别是寻找nk与nk1的关系时，项数发生什么变化被弄错.(2)没有利用归纳假设.(3)关键步骤含糊不清，“假设nk时结论成立，利用此假设证明nk1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性.典例剖析知识点1归纳、猜想、证明问题【例1】 已知x2cos ，(1)计算x2及x3的值；(2
3、)归纳出xn (nN*)的值，再用数学归纳法证明.解(1)x2222cos222(2cos21)2cos 2x33，8cos332cos 2cos 3.(2)由(1)猜想xn2cos n (nN*)证明：当n1，2时，由(1)已证假设nk及nk1时，命题成立，即xk2cos k，xk12cos(k1) (k2，kN*)则nk1时，xk14cos kcos 2cos(k1)2cos(k1)cos(k1)2cos(k1)2cos(k1)当nk1时，命题也成立，由、知，对一切nN*都有xn2cos n.知识点2探索性问题【例2】 是否存在常数a，b，c使得等式122232n(n1)2(an2bnc)
4、对一切nN*都成立？并证明你的结论.解假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式122232n(n1)2(an2bnc)中，令n1，得4(abc)令n2，得22(4a2bc)令n3，得709a3bc由解得a3，b11，c10，于是，对于n1，2，3，都有122232n(n1)2(3n211n10) (*)成立.下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立.假设nk时，(*)成立，即122232k(k1)2(3k211k10)，那么122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10，由此可知，当nk1时，(
5、*)式也成立.综上所述，当a3，b11，c10时题设的等式对于一切nN*都成立.知识点3与数列通项有关的归纳、猜想、证明【例3】 设数列an满足an1anan1，nN*.(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式；(2)当a13时，证明对所有n1有ann2；.(1)解由a12，an1anan1得：a2aa113，a3a2a214a4a3a315由此可推测数列an的一个通项公式是ann1.(2)证明当n1时，a1312，不等式成立.假设nk时，不等式成立，即akk2当nk1时，ak1akak1ak(akk)1(k2)(k2k)12k5k3即ak1(k1)2，因此不等式成立
6、.ann2对于nN*都成立.由an1anan1及(1)知当k2时，aka(k1)ak11ak1(ak1k1)1ak1(k12k1)12ak11ak12(ak11)，即2ak12k1(a11)，(k2).知识点4用数学归纳法证明三角等式【例4】 用数学归纳法证明tan tan 2tan 2tan 3tan(n1)tan nn (n2，nN*).证明(1)当n2时，左边tan 右边22，等式成立.(2)假设当nk时(k2，kN*)等式成立，即tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan kk则当nk1时，tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(
7、k1)ktan ktan(k1)(*)由tan tan(k1)k得tan ktan(k1)1.代入(*)式，得右边k1(k1)，即tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1)(k1).这就是说，当nk1时等式成立.根据(1)(2)可知，对任意n2，nN*，等式成立基础达标1.如果命题P(n)对nk成立，则它对nk2亦成立，又若P(n)对n2成立，则下列结论正确的是()A.P(n)对所有的正整数n成立B.P(n)对所有的正偶整数n成立C.P(n)对所有正奇整数n成立D.P(n)对所有比1大的自然数n成立答案B2.利用数学归纳法证明(n2，nN)的过程中，
8、由nk递推到nk1时，不等式的左边()A.增加了一项B.增加了两项和C.增加了一项，并减少了D.增加了两项和，并减少了答案D3.用数学归纳法证明cos cos 3cos(2n1)(kZ*，k，nN)，在验证n1时，左边计算所得的项是() A. B.cos C.cos cos 3 D.cos 答案B4.平面上有n条直线，其中任意三条不平行，任意两条不共线，则这n条直线把平面分成_个部分.答案15.已知f(n)1(nN)，用数学归纳法证明f(2n)时，f(2k1)f(2k)_.答案6.nN，求证：46n5n19能被20整除.证明(1)当n1时，46n5n1940，能被20整除，即n1时命题成立.(
9、2)设nk时命题成立，即46k5k19能被20整除.设46k5k1920m(m为整数).920m46k5k1.46k15k2946k15k220m46k5k120(6k5km)，46k15k29能被20整除.当nk1时，命题成立.由(1)、(2)，知对nN，命题成立.综合提高7.对于不等式n1(nN)，某学生用数学归纳法证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立；(2)假设nk(kN)时不等式成立，即k1，则当nk1时，左边(k1)1，当nk1时，不等式成立.上述证明中()A.过程全部正确B.n1时验证不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正确答案D8.设平面内有几条直线，其中
10、任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(x)，则f(x1)与f(k)的关系为()A.f(k1)f(k)k1B.f(k1)f(k)k2C.f(k1)f(k)kD.f(k1)f(k)k2答案C9.用数学归纳法证明命题：当n是非负整数时，11n2122n1能被133整除，假设nk时命题成立，推证nk1时命题也成立，应添加的辅助项为_.答案11122k111122k110.用数学归纳法证明“nN，n(n1)(2n1)能被6整除”时，某同学证法如下：(1)n1时，1236能被6整除，n1时命题成立.(2)假设nk时成立，即k(k1)(2k1)能被6整除，那么nk1时，(k1)(k2)(
11、2k3)(k1)(k2)k(k3)k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3).k，k1，k2和k1，k2，k3分别是三个连续自然数的积，能被6整除，故nk1时命题成立.综合(1)、(2)，对一切nN，n(n1)(2n1)能被6整除.这种证明情况_.答案未用上归纳假设，不是数学归纳法11.求证：cos xcos 3xcos(2n1)x (nN*).证明(1)当n1时，左边cos x，右边cos x，等式成立.(2)假设nk (k1)时，cos xcos 3xcos(2k1)x成立.当nk1时，cos xcos 3xcos(2k1)xcos(2k1)xcos(2k1)x(sin 2kx2sin x
12、cos(2k1)x)(sin 2kxsin(2k2)xsin 2kx)，对nk1时，等式成立.由(1)，(2)知，对一切自然数nN*，等式均成立.12.已知数列an的各项均为正数，bnnan(nN)，e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)1xex的单调区间，并比较与e的大小；(2)计算，由此推测计算的公式，并给出证明；(3)令cn(a1a2an)，数列an，cn的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn0，即x0时，f(x)单调递增；当f(x)0时，f(x)单调递减；故f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，).当x0时，f(x)f(0)0，即1xex.令x，得1e，即e.(2)解1112；22(21)232；323(31)343.由此推测：(n1)n.下面用数学归纳法证明.()当n1时，左边右边2，成立.()假设当nk(k1，kN)时，成立，即(k1)k.当nk1时，bk1(k1)ak1，由归纳假设可得(k1)k(k1)
