2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式(一)导学案 新人教b版选修4-5

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1、1.2基本不等式(一)1.理解并掌握定理1、定理2,会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题.自学导引1.定理1(重要不等式):对于任意实数a,b,a2b22ab,当且仅当ab时,等号成立.2.定理2(基本不等式):如果a,b是正数,那么,当且仅当ab时,等号成立.3.我们常把叫做正数a,b的算术平均值,把叫做正数a,b的几何平均值,所以基本不等式又可叙述为:两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.4.关于用不等式求函数最大、最小值(1)若x0、y0,且xyp(定值),则当xy时,xy有最小值2.(2)若x0、y0,且xys(定值),则当x

2、y时,xy有最大值.基础自测1.设0a1,0b1,且ab,下列各式中值最大的是() A.a2b2 B.abC.2ab D.2解析0a1,0b2,a2a,b2b,a2b22ab,且ab0,b0,所以2,即ab2,当且仅当即a,b2时取“”,所以ab的最小值为2.答案C3.若正数a,b满足abab3,则ab的取值范围是_.解析a0,b0,abab323,()2230,3或1(舍去),ab9.答案9,)知识点1不等式证明【例1】 求证:a7 (其中a3).证明a(a3)3,由基本不等式,得a(a3)32 3237.当且仅当a3,即a5时取等号. 反思感悟:在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式

3、合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式.1.若a,bR,且ab1,求证:9.证明方法一:1119.方法二:529.知识点2最值问题【例2】 设x,yR且3,求2xy的最小值.解方法一:2xy3(2xy)(2xy).当且仅当,即x,y时,等号成立,2xy的最小值为.方法二:设,则x,y2xy,当且仅当mn,即x,y时,取得最小值.反思感悟:利用基本不等式求最值,关键是对式子恰当的变形,合理构造“和式”与“积式”的互化,必要时可多次应用.注意一定要求出使“”成立的自变量的值,这也是进一步检验是否存在最值.2.已知x0,b0且ab,2,乙公司的平均成本比较低.3.某

4、单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40元,两侧砌砖墙,每米造价45元,顶部每平方米造价20元.试问:(1)仓库底面积S的最大允许值是多少?(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?解设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,则有Sxy,由题意得:40x245y20xy3 200.(1)由基本不等式,得3 200220xy120 20xy12020S,S6160,即(16)(10)0.160,100,从而S100.S的最大允许值是100 m2.(2)S取最大值的条件是40x90y,又xy100,由此解得x15

5、.正面铁栅的长度应设计为15米.课堂小结1.两个不等式:a2b22ab与成立的条件是不同的,前者要求a,b都是实数,后者要求a,b都是正数.如(3)2(2)22(3)(2)是成立的,而2是不成立的.2.两个不等式:a2b22ab与都是带有等号的不等式,对于“当且仅当时,取号”这句话的含义要有正确的理解.当ab取等号,其含义是ab;仅当ab取等号,其含义是ab.综合上述两条,ab是的充要条件.3.与基本不等式有关的两个常用不等式:(1)2 (a、b同号);(2) (a0,b0).随堂演练1.设实数x,y,满足x2y21,当xyc0时,c的最大值是() A. B.C.2 D.2解析方法一:设xco

6、s ,ysin ,当xyc0时,cxy(cos sin )sin,当sin1时,cmax.方法二:c2(xy)22(x2y2)2c,cmax.答案A2.若log4(3a4b)log2,则ab的最小值是()A.62 B.72C.64 D.74解析先判断a,b的符号,再将已知的式子转化为关于a,b的方程,最后根据基本不等式求解.由题意得所以又log4(3a4b)log2,所以log4(3a4b)log4ab,所以3a4bab,故1.所以ab(ab)77274,当且仅当时取等号,故选D.答案D3.已知x0,y0,且1,求xy的最小值_.解析x0,y0,1,xy(xy)1061016,当且仅当时,上式

7、等号成立.又1,x4,y12时,(xy)min16.答案164.x,y,zR,x2y3z0,的最小值是_.解析由x2y3z0,得y,将其代入,得3,当且仅当x3z时取“”.答案3基础达标1.若a,bR,且ab1,则的最大值为()A.B.C.D.2答案C2.若a,bR,且ab2,则的最小值为()A.1 B.2C. D.4答案B3.下列命题:x最小值是2;的最小值是2;的最小值是2;23x的最小值是2.其中正确命题的个数是()A.1 B.2C.3 D.4解析当x0时,23x22224,当x0,b0,ab20,当且仅当ab时,取等号.2 0,当且仅当,即ab时取等号.,得(ab)224,当且仅当ab

8、时,取等号.综合提高7.函数ylog2 (x1)的最小值为()A.3 B.3C.4 D.4解析x1,x10,ylog2log2log2(26)log283.答案B8.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元 B.120元C.160元 D.240元解析设底面矩形的一条边长是x m,总造价是y元,把y与x的函数关系式表示出来,再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知,体积V4 m3,高h1 m,所以底面积S4 m2,设底面矩形的一条边长是x m,则另一条边长是 m,又设总造价是y元,

9、则y204108020160,当且仅当2x,即x2时取得等号.答案C9.设a,b0,ab5,则的最大值为_.解析将进行平方,为使用基本不等式创造条件,从而求得最值.令t,则t2a1b32929a1b313ab13518,当且仅当a1b3时取等号,此时a,b.tmax3.答案310.对于c0,当非零实数a,b满足4a22abb2c0且使|2ab|最大时,的最小值为_.解析利用均值不等式找到|2ab|取得最大值时等号成立的条件,从而可以用字母c表示a,b,再求的最小值.由题意知,c4a22abb2(2ab)26ab,(2ab)2c6ab.若|2ab|最大,则ab0.当a0,b0时,(2ab)2c6

10、abc32abc3,(2ab)2c(2ab)2,(2ab)24c,|2ab|2,当且仅当b2a,即时取等号.此时0.当a0,b0时,(2ab)2c6abc3(2a)(b)c3,(2ab)24c,|2ab|2,即2ab2.当且仅当b2a,即时取等号.此时411,当,即c4时等号成立.综上可知,当c4,a1,b2时,1.答案111.若a0,b0,且.(1)求a3b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a3b6?并说明理由.解(1)由,得ab2,且当ab时等号成立.故a3b324,且当ab时等号成立.所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a3b24.由于46,从而不存在a,b,使得2a3b6.12.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速率v(千米/时)之间的函数关系为y(v0).(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?解(1)依题意,y11.1(千辆/时)(2)由条件得10,整理得v289v1 6000,即(v25)(v64)0,解得25v64.答当v40千米/时时,车流量最大,

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