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1、数学运算之行程问题专题行程问题的“ 三原色” 路程、速度、时间。 问题千变万化，归根结底就是这三者之间的变化。行测问题细分来看有四大类：一是相遇问题；二是追及问题；三是流水问题；四是相关问题。1、相遇问题：相遇问题是行程问题的一种典型应用题,车还是物体的移动,总是要涉及到三个量度、 时间。相遇问题的核心就是速度和。路程、速度、时间三者之间的数量关系,不仅可以表示成:路程= 速度时间,还可以变形成下两个关系式:速度= 路程 时间, 时间= 路程甲从 A 地到 B 地,乙从 B 地到 A 地,然后两人在 A 地到 B 地之的某处相遇,实质上是甲,乙两人一起了 段路程 ,如果两人同时出发,那有:(1
2、) 甲走的路程 +乙走的路程 = 全程(2) 全程= (甲的速度+ 乙的速度) 相遇时间= 速度和相遇时间例 1:甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么 4 小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走 1 千米，那么 5 小时相遇。A、B 两地相距多少千米？【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原 计划每小时少走 1 千米）仍然走 4 小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢？就是两人 4 小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走，他们 5 小时相遇，换句话说，再行 1 小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他
3、们现在的速度和了。【解】142（55=40（千米）这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和时间=（相隔的）路程。但只有符合“同 时出发，相向而行， 经过相同时间相遇” 这样的特点才能运用上面的关系式。但在实际问题中、两人可能在不同的时间出 发,或因题目的其他条件使一般的相遇问题变得非常复杂,要小心审题,耐心推敲. 对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他与前两者有什么关系。分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。例 2:上午 9 时,小宇和弟弟同时
4、从家出发去学校参加活 动,小宇骑自行车,每分钟行 300 米;弟弟步行、每分 钟行 70 呆了 30 分钟后立即返回家中、途中遇到正前往学校的弟弟时是 10 时 10 然小宇和弟弟同时从家中出发,似乎不符合相遇问题的条件,但在整个的行走过程中隐含著一个相遇问题,即小宇从学校返回,而弟弟正在途中向学校走去, 小宇骑自行车的速度所走的时间加上弟弟的步行速度所走的时间解 2 从 9 点到 10 点 10 分,共有 70分钟,因为小宇呆了 30 分钟所以小宇走了分钟,弟弟一直没停,则弟弟走了 70 家到学校距离 8450 有甲,乙两列火车,甲车长 96 米,每秒钟行驶 26 米,乙车长 104 米,每
5、秒钟行驶24 米,两车相向而行、从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开、需要多少秒钟?假设乙列车停止不动,那易知甲行走的路程为两个列车的车身长 200 的速度是 24 米秒,也就相当於乙列车把它的速度给了甲列车,使自己的速度为 0 米秒,那从相遇到离开的时间=列车长度和/:田田坐在行驶的列车上,发现从迎面开来的货车 用了 6 秒钟才通过他窗口,后来田田乘坐的这列火车通过一座 234 米长的隧道用了 13 80米,求货车的速度?田田坐在列车上,货车用 6 秒通过他的窗口,这是一个相遇问题,是田田与货车相遇,货车行驶了一个货车车长,用时 6 程 /相遇时间 ,可求田田与货车的速度和 ,（用比例关系）学
6、校田径场的环形跑道周长为 400 米，甲、乙两人同时从跑道上的 A 点出发背向跑步，两人第一次相遇后，继续往前跑，甲在跑 26 又 2/3 秒第一次回到 A 点，乙再跑 1 分钟也第一次回到 A 点，求甲乙两人的速度。 设甲乙二人相遇的时间是 X 由题意得知，乙开始 X 秒所行的距离甲行了： 26 又 2/3 秒 那么甲乙的速度比是：X：80/3=3X：80 甲开始 X 秒所行的距离乙行了 60 秒， 即甲乙的速度比也是：60：X 所以有：3X：80=60：X X=40 秒 那么甲乙的速度比是：60：40=3：2 又甲乙的速度和是：400/40=10 米/秒 所以甲的速度是：10*3/3+2=
7、6 米/ 秒，乙的速度是：10*2/5=4 米/秒。2:追及 问题：两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差时间=追及（或领先的）路程。追及问题的核心就是速度差。例 1：甲、乙两人联系跑步，若让乙先跑 12 米，则甲经 6 秒追上乙，若乙比甲先跑 2 秒，则甲要 5 秒追上乙，如果乙先跑 9 秒，甲再追乙，那么 10 秒后，两人相距多少米？ 案】C 。解析：甲乙的速度差为 126=2 米/秒， 则乙
8、的速度为 252=5 米/ 秒，如果乙先跑 9 秒，甲再追乙，那么 10 秒后，两人相距 59210=25 米。例 2 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水 壶掉进江中，当他 们发现并调过船头时，水壶与船已经相距 2 千米，假定小船的速度是每小时 4 千米，水流速度是每小时 2 千米，那么他们追上水壶需要多少时间? 分析 此题是水中追及问题，已知路程差是 2 千米，船在 顺水中的速度是船速+水速水壶飘流的速度只等于水速。 解：路程差船速=追及时间 24=05（小时） 答：他们二人追回水壶需用 05 小时。 3、流水问题。船在江河里航行时，除了本身的前进速度外， 还受到流水的推送或顶逆，在
9、 这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度=船速+ 水速， （1）逆水速度=船速2）这里，船速是指船本身的速度，据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：水速=顺水速度 速=顺水速度 公式（2）可以得到：水速=船速 速=逆水速度 +水速。这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（ 1）和公式（2），相加和相减就可以得到：船速=（顺 水速度+ 逆水速度）
10、 2，水速=（顺 水速度2。例 1 甲、乙两港间的水路长 208 千米，一只船从甲港开往乙港，顺水 8 小时到达，从乙港返回甲港，逆水 13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。分析 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺 水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行 时间求出。解：顺水速度：2088=26（千米/小时）逆水速度：20813=16（千米/小时）船速：（26+16）2=21 （千米 /小时）水速：（2616）2=5（千米/小时）答：船在静水中的速度为每小时 21 千米，水流速度每小时 5 千米。例 2
11、某船在静水中的速度是每小时 15 千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了 8 小时，水速每小时 3 千米， 问从乙地返回甲地需要多少时间？分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。解：从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/小时），甲乙两地路程：188=144（千米），从乙地到甲地的逆水速度：153=12（千米/小时 ），返回时逆行用的时间：1441212（小时）。答：从乙地返回甲地需要 12 小时。例 3 甲、乙两港相距 360 千米，一轮船往返两港需 35 小时，逆流航行比顺流航行多花了 5 水中速度是每小时 12 千米，这机帆船往返两港要多
12、少小时？分析 要求帆船往返两港的时间，船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是 35 小时与 5 小时，：轮船逆流航行的时间：（35+5）2=20 （小时），顺流航行的时间：（355）2=15（小时），轮船逆流速度：36020=18（千米/小时），顺流速度：36015=24（千米/小时），水速：（2418）2=3（千米/小时），帆船的顺流速度：12315（千米/小时），帆船的逆水速度：123=9（千米/小时），帆船往返两港所用时间：36015360924+40=64（小时）。例 4 某船第一次顺流航行 21 千米又逆流航行 4 千米，第二天在同一河道中顺流航行 12 千米，逆流航行 7 千米
13、， 结果两次所用的时间相等，假 设船本身速度及水流速度保持不变，则顺 水船速与逆水船速之比是： A B3：1 C D4：1 （2005 年中央真题） 解析 1：典型流水问题。如果设逆水速度为 V，设顺水速度是逆水速度的 K 倍， 则可列如下方程： 21/ =12/ 将 V 约掉，解得 K=3 解析 2，推荐。注意一个关系量，两次时间相等，也就是说，第二天虽然顺流少行了 9节约的时间与逆流多行的 3花的时间抵消了。两者时间相等。时间一定，速度比等于路程比，故顺逆比为 21:1 4、相关问题例 3 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走 2
14、个梯级，女孩每 2 秒向上走 3 个梯级。结果男孩用 40 秒钟到达，女孩用 50 秒钟到达。 则当 该扶梯静止时，可看到的扶梯级有： A80 级 B100 级 C120 级 D140 级 （2005年中央真题） 解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“ 扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为 X，则 可列方程如下，（X+2）40=（X+3/2）50 解得 X=也即扶梯静止 时可看到的扶梯级 数=（2+40=100 所以，答案为 B。五、特殊的思维方法。整体的思维方法例 1C、D 两地间的公路长 96 千米，小张骑自行车自 C 往 D，小王骑摩托车自 D 往 C，他们同时出发，经过 80 分两人相遇，小王到 C 地后马上折回，在第一次相遇后 40 分追上小张，小王
