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1、第七章 振动和波 人们习惯于按照物质运动的形态，把经典物理学分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和波，仅从微观理论的基石 量子力学又称波动力学这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重要性了。尽管在物理学的各分支学科里振动和波的具体内容不同，在形式上它们却具有极大的相似性。所以，本章的意义绝不局限于力学，它将为学习整个物理学打基础。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 第七章 振动和波 7.1
2、 简谐振动 7.2 阻尼振动 7.3 受迫振动与共振 7.4 二自由度振动 * 7.5 机械波 7.6 波在空间中的传播 7.7 波的叠加 7.8 多普勒效应 7.9 非线性波简介 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.1 平衡与振动 7.1.2 恢复力与弹性力 7.1.3 简谐振动的描述 7.1.4 谐振子的能量 7.1.5 振动的合成与分解 7.1 简谐振动 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1 简谐振动 7.1.1 平衡与振动 处于静止状态的物体，我们称之为平衡，此时物体不受力或所受的合力为零。如果处于平衡位置的物体受到某种扰动而离开了平衡位置，则我们根据该物
3、体以后能否保持平衡而将平衡分为以下四种：稳定平衡、亚稳平衡、不稳平衡和随遇平衡，如图 7.1所示。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1 简谐振动 7.1.1 平衡与振动 我们仅讨论处于稳定平衡（严格地说，稳定平衡是理想情况，绝对的稳定平衡是没有的）或亚稳平衡而扰动较小的情况，此时物体将会发生振动。我们把振动的物体称为 振子 。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.2 恢复力与弹性力 图 7.2的“弹簧振子”有一个平衡位置 O，在那个位置，弹簧既没有伸长也没有缩短，对物体不施加作用力，物体得以平衡。试把物体从平衡位置移开，例如移到点，然后放手，拉长的弹簧有收缩的趋
4、势，它施加于物体的作用力驱使物体向平衡位置移动。这种驱使物体向平衡位置移动的力叫作 恢复力 。 恢复力和惯性这一对矛盾不断斗争，它们的作用交替消长，力学系统就在平衡位置左右一定范围内来回振动。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.2 恢复力与弹性力 弹簧振子的恢复力是弹簧的弹性力，其大小正比于弹簧的伸长或缩短。它满足胡克定律： kxF 式中 x 是物体对平衡位置的位移， k 叫作 弹性系数 （或倔强系数 ）， k 越大表示弹簧越硬。 由胡克定律可知弹性力有两个特点： 1. 因为弹性力 F 的指向总与位移 x 的方向相反，故弹性力 F 总是指向平衡位置，总是力图把质点拉回到平衡位
5、置； 2. 因为 F 的数值大小正比于位移 x 的大小，所以物体偏离平衡位置越远，则它受到的拉回平衡点的力也越大。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.2 恢复力与弹性力 除了弹簧外，其他的力也可能具有 (7.1.1)式的形式。如图 7.3所示的单摆，如将小球从平衡位置拉到点再松手，小球将在平衡位置点附近往复摆动。它的结构虽与上述弹簧振子完全不同，但它们的运动性质是十分相似的。 s in mgmgF 式中负号表示 F 与角位移方向相反。 可见，单摆所受的虽不是弹性力，但 (7.1.2)式在形式上与 (7.1.1)式完全相似。我们把这种与弹性力具有相似表达式的力，叫做 准弹性力
6、。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.2 恢复力与弹性力 准弹性力的实例，还可以举出许多。例如琴弦的颤动，树木的摇曳，分子的振动等，都是在准弹性力作用下的运动。一般质点在其稳定的平衡点附近的运动，大都是准弹性力作用下的运动。 现在我们来证明： 一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.2 恢复力与弹性力 定理：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。 证 ：设 F(x) 是保守力，则它具有势能 V(x) 。 把势能函数 V(x) 在平衡点 x0 附近作泰勒展开 202200 )(21)()(00xxdx Vdxxdx
7、dVVxVxxxx因 F(x) = dV /dt, x0 是平衡点，在该点有 F(x0) = 0，故 20220 )(21)(0xxdx VdVxVxx)( )( 0220xxdx VddxdVxFxx中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.2 恢复力与弹性力 )( )( 0220xxdx VddxdVxFxx令 022xxdxVdk由于 x0 是平衡点，故 k 0。将 (7.1.6)式代入 (7.1.5)，只保留第一项，得： )( 0xxkF 可见，只要把平衡点 x0 取为原点，它的形式就与 (7.1.1)式完全一样了。这就证明了 F(x) 是准弹性力。 证毕 中 国 科 学 技
8、 术 大 学 杨 维 纮 7.1.2 恢复力与弹性力 取 V0 =0, x0 = 0，在 (7.1.4)中只保留一项，得势能为： 221)( kxxV 势能的曲线示于图 7.4。由图可见，在一个严格的弹性力作用下的质点只可能作束缚运动，对任何大的能量 E，质点都不能作自由运动，而只能在下列有限范围内运动，即： m a xm i n xxx 其中： kExkEx 2 ,2m a xm i n 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.3 简谐振动的描述 1. 简谐振动解 如图 7.2所示，设弹簧振子的质量为 m，弹簧的倔强系数为 k，选取 x 轴，以平衡位置 O 为原点，则振子的运动方
9、程为： kxxm 令： mk2解为： ) c o s (0 tAx其中 为待定常数，由初始条件确定。称这种运动为 简谐振动 。 0, A中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.3 简谐振动的描述 2. 简谐振动的特征参量 描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频率和相位。 (1) 振幅 A ) c o s ( 0 tAxA 代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于 (E)1/2，即它的平方正比于系统的机械能，A2 E ； 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.3 简谐振动的描述 2. 简谐振动的特征参量 (2) 角频率 （也称圆频率） ) c o s (
10、0 tAx振动的特征之一是运动具有周期性。完成一次完整的振动所经历的时间称为 周期 ，用 T 表示。由 (7.1.13)可知周期 T 与角频率 的关系为： T = 2 /。周期的倒数称为 频率 ， = 1/T = /2。周期的单位是“秒”；频率的单位是“秒 -1”，这有个专门的名称“赫兹（ Hz）”；角频率的单位是“弧度秒（ rad/s）”。对于弹簧振子，频率与周期为 kmTmk 2 ,21 可见弹簧振子的频率（或周期）由其固有参量和决定，而与初始条件无关，故称为振子的 固有频率 。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.3 简谐振动的描述 2. 简谐振动的特征参量 (3) 相位
11、 （或 位相 ） ) c o s ( 0 tAx0 t其中时刻 t = 0 的相位，称为初相位 。相位是相对的，通过计时零点的选择，我们总可以使初相位： 而多个简谐运动之间的 相位差 是重要的。 00 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.3 简谐振动的描述 我们说振幅、角频率（或频率、周期）和相位是描绘简谐振动的三个特征参量，是因为有了它们就可以把一个简谐振动完全确定下来。振幅和相位与频率不同，它们不是振子的固有性质，而是由初始条件决定的。 2. 简谐振动的特征参量 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.3 简谐振动的描述 3. 简谐振动的描述 (1) x-t曲线
12、图示法 简谐振动可以用三角函数表示，也可用图 7.6的曲线图表示，图上已将振幅、周期和初相标出。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.3 简谐振动的描述 3. 简谐振动的描述 (2) 振幅矢量法 简谐振动还可以用旋转振幅矢量（也称相矢量）来表示。自原点画一条长等于振幅的矢量 A，开始时 ( t=0 )，让矢量 A与 x 轴的夹角等于振动的初位相，令 A 以角速度（就是振动角频率）逆时针方向旋转，则矢量在轴上的投影就是振动的位移（如图 7.7）。 这种表示简谐振动的方法清晰明了，它能比较直观地把振幅、频率和初位相表示出来，我们以后将经常用到这种表示法。 中 国 科 学 技 术 大
13、 学 杨 维 纮 7.1.3 简谐振动的描述 3. 简谐振动的描述 (3) 复数法 利用三角函数与复数的关系，简谐振动也可用复数表示 ) ( 0 tiAextieAx 或 0iAeA 其中： 是复数，称 复振幅 ，它已包含了初位相。但要注意，有意义的是 (7.1.15)式的实部。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.4 谐振子的能量 下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为： ) c o s ( 0 tAx ) s in ( 0 tAdtdxv其中 mk /2 动能： ) (2c o s12121) (s i n221 0202222 tkAtmAmvE k势能： ) (2c o s12121) (c o s2121 020222 tkAtkAkxV机械能： 2020222221) (c o s) ( s i n22121 kAttkAkxmvE 此式表示简谐振动的机械能是守恒的。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮 7.1.4 谐振子的能量 由 (7.1.17)、 (7.1.18)式可见动能和势能的变化频率都是原振子振动频率的两倍。不难求出，一个周期内动能、势能的时间平均值都等于总能量的二分之一。 dttkATdtETE TkTk ) (2c os121
