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1、第六章 定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分 6.1 定积分的概念与性质1. 定积分的定义我们先来研究两个实际问题例1 计算曲边梯形的面积设为闭区间上的连续函数，且由曲线，直线及轴所围成的平面图形(图61)称为在上的曲边梯形，试求这曲边梯形的面积 图61我们先来分析计算会遇到的困难由于曲边梯形的高是随而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式
2、去计算它的面积但我们可以用平行于轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图61所示在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法下面我们分三步进行具体讨论：(1) 分割 在 中任意插入个分点把分成个子区间，每个子区间的长度为(2) 近似求和 在每个子区间上任取一点，作和式 (1.1)(3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边
3、梯形的面积(记作A)因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有 例2 求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度是时间的连续函数试求该物体从时刻到时刻一段时间内所经过的路程因为是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题(1) 用分点把时间区间任意分成个子区间(图62)： ，每个子区间的长度为 () 图62 (2) 在每个子区间 ()上任取一点，作和式 (3) 当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有 以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“
4、分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念定义6.1.1 设函数在上有定义，在内任取个分点把分成个子区间，每个子区间的长度为在每个子区间上任取一点(称为介点)，作和式，并记如果不论对怎样划分成子区间，也不论在子区间上怎样取介点，只要当时，和式(1.1)总趋于确定的值，则称这极限值为函数在区间上的定积分，记作，即 (1.2)其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分
5、的下限和上限关于定积分的定义，再强调说明几点：(1) 区间 划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或的大小来确定因为尽管很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小所以在求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度，这时必然有(2) 定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着，但当时却都以唯一确定的值为极限只有这时，我们才说定积分存在(3) 从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数在上有界因为如果不然，当把任意划分成个子区间后，至少在其中某一个子区间上无界于是适当选取介点，能使的绝对值
6、任意地大，也就是能使和式(1.1)的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值(4) 由定义可知，当在区间上的定积分存在时，它的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变，即有(5) 我们仅对的情形定义了积分，为了今后使用方便，对与的情况作如下补充规定：当时，规定；当时，规定根据定积分的定义，我们说：例1中在上的曲边梯形的面积就是曲线的纵坐标从到的定积分 它就是定积分的几何意义注意到若，则由及可知这时曲边梯形位于轴的下方，我们就认为它的面积是负的因此当在区间上的值有正有负时，定积分的值就是各个曲边梯形面积的代数和，如图63所示图63例2中物体从时刻
7、到时刻所经过的路程就是速度在时间区间上的定积分对应于导数的力学意义，我们也说它是定积分的力学意义当在区间上的定积分存在时，就称在上可积，说明(3)表明：在上可积的必要条件是在上有界下面是函数可积的两个充分条件，证明从略定理6.1.1(1) 若在上连续，则在上可积(2) 若在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积2. 定积分的基本性质定理6.1.2 (积分的线性性质)(1) 若在上可积，为常数，则在上可积，且 (1.3) (2) 若，在上可积，则在上也可积，且 (1.4)证 根据定义，有所以(1.3)式成立类似可证(1.4)式成立定理6.1.2的更一般的结论是其中在上可积，为常数定理6.1.3
8、(积分对区间的可加性) 设是可积函数，则 (1.5)对任何顺序都成立证 先考虑的情形由于在上可积，所以不论将区间如何划分，介点如何选取，和式的极限总是存在的因此，我们把始终作为一个分点，并将和式分成两部分：，其中分别为区间与上的和式令最长的小区间的长度，上式两边取极限，即得(1.5)式对于其它顺序，例如，有，所以 (1.5)式仍成立定理6.1.4 (积分的不等式性质) 若，在上可积，且，则 (1.6)证 由假设知，且，所以上式右边的极限值为非负，从而有(1.6)式成立从定理6.1.4立刻推出推论6.1.1 若在上可积，且，则 推论6.1.2 (积分估值) 若在上可积，且存在常数和，使对一切有，
9、则 推论6.1.3 若在上可积，则在上也可积，且这里在上的可积性可由的可积性推出，其证明省略推论6.1.4 (严格不等式) 设是上的连续函数，若在上且，则 证 由假设知，存在使，根据的连续性，必存在的邻域，使在其中，从而有 ，所以结论成立定理6.1.5 (积分中值定理) 若在上连续，则在上至少存在一点，使得 (1.7) 证 因为在上连续，所以在上可积，且有最小值和最大值于是在上，或根据连续函数的介值定理可知，在上至少存在一点，使所以(1.7)式成立积分中值定理的几何意义如图64所示图64若在上连续且非负，则在上的曲边梯形面积等于与该曲边梯形同底，以为高的矩形面积通常把，即称为函数在上的积分均值
10、，而这正是算术平均值概念的推广定理6.1.6 (推广的积分中值定理) 若，在上连续，且在上不变号，则在上至少存在一点，使得 (1.8)证 不妨设在上有，则，且在上 ，其中分别为在上的最小值与最大值由此推出若，则由上式知从而在上任取一点作为，(1.8)式都成立若，则得按连续函数的介值定理推出，在上至少存在一点，使所以(1.8)式也成立 6.2 微积分学的基本定理与基本公式若已知在上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的本节将通过揭示微分和积分的关系，引出一个简捷的定积分的计算公式1. 微积分学基本定
11、理设函数在区间上可积，则对中的每个，在上的定积分都存在，也就是说有唯一确定的积分值与对应，从而在上定义了一个新的函数，它是上限的函数，记作，即， 这个积分通常称为变上限积分定理6.2.1 设在上可积，则是上的连续函数证 任取及，使根据积分对区间的可加性， 由于在上连续，从而有界，即存在，使对一切有，于是故当时有所以在连续，由的任意性即知是上的连续函数定理6.2.2 (原函数存在定理) 设在上连续，则在上可导，且 ， ，也就是说是在上的一个原函数 证 任取及，使应用积分对区间的可加性及积分中值定理，有，或 ， (2.1)由于在上连续， 故在(2.1)中令取极限，得所以在上可导，且由的任意性推知就
12、是在上的一个原函数本定理回答了我们自第五章以来一直关心的原函数的存在问题它明确地告诉我们：连续函数必有原函数，并以变上限积分的形式具体地给出了连续函数的一个原函数回顾微分与不定积分先后作用的结果可能相差一个常数这里若把写成 ，或从 推得 ，就明显看出微分和变上限积分确为一对互逆的运算从而使得微分和积分这两个看似互不相干的概念彼此互逆地联系起来，组成一个有机的整体因此定理6.2.2也被称为微积分学基本定理推论6.2.1 设为连续函数，且存在复合与，其中，皆为可导函数，则 (2.2)证 令，为的连续区间内取定的点根据积分对区间的可加性，有 由于连续，所以为可导函数，而和皆可导，故按复合函数导数的链式法则，就有 所以(2.2)式成立例1. 证明：若在内连续，且满足，则证 由假设知在内可导，且令， ，则所以，由于，可得从而有
