《【挑战中考压轴题】：因动点产生的直角三角形问题（含试题，含详解）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【挑战中考压轴题】：因动点产生的直角三角形问题（含试题，含详解）（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、因动点产生的直角三角形问题例1 2013年山西省中考第26题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由来#源&:zzst*图1
2、动感体验请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，DBQ和BDQ可以成为直角来源:&中国教育出%*版网请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，DBQ和BDQ可以成为直角来源:中#国%教育出版网思路点拨1第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQDC列方程2第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就
3、是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论3第（3）题BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形满分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直线DB的解析式为由点P的坐标为(m, 0)，可得，中国教育出版#网*所以MQ当MQDC8时，四边形CQMD是平行四边形解方程，得m4，或m0（舍去）www.zz%s#tep.co&m此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC与MQ互相平分来源&#%:中*教网所以四边形CQBM是平行四边形来源:gkstk.Com图2 图3（3）存在两个符合题意的
4、点Q，分别是(2,0)，(6,4)考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为如图3，当DBQ90时， 所以解得x6此时Q(6,4)如图4，当BDQ90时， 所以解得x2此时Q(2,0)图3 图4来源*&:中#国教育出版网例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；来源:zzs&*%（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式来#源:中教&网图
5、1 动感体验请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合AMB90的点M只有1个请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合AMB90的点M只有1个思路点拨来源:zz%ste*&1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个2当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合AMB90的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合AMB90的点M只有1个3灵活应用相似比解题比较简便满分解答（1）由，得抛物线与x轴的交点坐标为A(4, 0)、B(2, 0)
6、对称轴是直线x1来%源&:中*教网（2）ACD与ACB有公共的底边AC，当ACD的面积等于ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D来源:GKSTK.Com设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，点D的坐标为因为AC/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐标为图2 图3（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M以AB为直径的G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了联结GM，那么GMl在
7、RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以点M1的坐标为(4, 6)，过M1、E的直线l为根据对称性，直线l还可以是中国&教育#出*版网考点伸展第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4w#ww.zzste%在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直线CM过点C来#源%:中*教网来源: zzstep&.com#%中&国#教育*出版网来源:中&国教育出版%*网中国&%教#育出版网*例3 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二
8、次函数yk(x2x1)的图象交于点A(1,k)和点B(1,k)（1）当k2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大观察抛物线的顶点Q与O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k0并且在抛物线的对
9、称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大观察抛物线的顶点Q与O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上 思路点拨来源:zzstep#*.com1由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是题目中的k都是一致的2由点A(1,k)或点B(1,k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O3根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在O上是，ABQ是以AB为直径的直角三角形满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是当k2时，反比例函数的解析式是（2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k0当k0时，抛
10、物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大抛物线yk(x2x1)的对称轴是直线 图1所以当k0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大来源:中国*%教育#出版网（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，当OQOAOB时，ABQ是以AB为直径的直角三角形由OQ2OA2，得解得（如图2），（如图3）图2 图3来源*:中国教育出版&网考点伸展如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线（k0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A、C关于直线yx对称时，AB与CD互相平
11、分且相等，四边形ABCD是矩形因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形www.z*zs&tep.c#om图4 图5来%源&:*中国教#育*出版网例4 2011年浙江省中考第23题设直线l1：yk1xb1与l2：yk2xb2，若l1l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线（1）已知直线；和点C(0，2)，则直线_和_是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l
12、2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式 图1动感体验请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，APB有两个时刻可以成为直角，此时BCPPOA答案（1）直线和是点C的直角线（2）当APB90时，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如图2，当OP6时，l1：， l2：y2x6如图3，当OP1时，l1：y3x1， l2：图2 图3中国&教育*%出版网中%国教*#育出版网来源#:中教&网%例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得EDPE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；来源:zz#*若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FMQF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）若点P运动
