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1、弘文学校 六年级奥数教案 第一讲 数的整除第一节 整除的意义与特征、性质第 1 课时教学内容：整除的意义与常用数的整除特征。教学目标：理解整除的意义，掌握常用数的整除特征，并能运用特征判断。教学重难点：理解掌握常用数的整除的特征。教学过程：一、整除的意义当两个整数 a 和 b（b0），a 除以 b 商为整数余数为零时，则称 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，也把 a 叫做 b 的倍数，b 叫 a 的因数，记作 b|a，如果 a 除以 b 所得的余数不为零，则称 a 不能被 b 整除，或 b 不整除 a，记作 b|a.二、整除特征（1）1 与 0 的特性：1 是任何整数的因数，即对于任何整数
2、 a，总有 1|a.0 是任何非零整数的倍数，a0,a 为整数，则 a|0.（2）若一个整数的个位是 0、2、4、6 或 8，则这个数能被 2 整除。（3）若一个整数的各位数字和能被 3 整除，则这个整数能被 3 整除。（4） 若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。（5）若一个整数的个位是 0 或 5，则这个数能被 5 整除。（6）若一个整数的未尾三位数能被 8 整除，则这个数能被 8 整除。（7）若一个整数的各位数字和能被 9 整除，则这个整数能被 9 整除。（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除，则这个数能被 11 整除。（9）如果一个数的
3、末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）能被 7（11、13）整除，这个数就能被 7（11、13）整除。三、例题讲解例 1：（1）判断 47382 能否被 3 或 9 整除？（2）判断 1548764 能否被 7 整除？（3）判断 42559，7295872 能否被 11 整除？解：（1）4+7+3+8+2=24 3|24， 9|243|47382， 9|47382（2）1548764=784=7112 7|784 7|1548764（3）（4+5+9）（2+5）=187=11 11|42559（7+9+8+2）（2+5+7）=2614=12 11|12 11|7295
4、871小结：判断一个整数能否被另一个整数整除，充分考虑整除的特征，这样有利于我们去判断。四、练习1、能被 4 整除的最大四位数是_，能被 8 整除的最小四位数是_。2、已知 95aa1,则 a= 。弘文学校 六年级奥数教案 3、在下面方框内填上合适的数字。2564387 1165379 84237 963746第 2 课时教学内容：常用数的整除特征。教学目标：在掌握常用数的整除特征，运用特征解决一些实际问题。教学重难点：利用数的整除特征解题。教学过程：一、例题教学例 2：从 0、1、2、4、7 五个数中选出三个组成三位数，其中能被 3 整除的有多少个？解：三位数的数字和字和应被 3 整除，所以
5、可取的三个数字分别是：0,1,2； 0,2,4; 0,2,7; 1,4,7。于是有：436=18个例 3：四位数 7a2b 能被 2，3，5 整除，这样的四位数有几个？分别是多少？解：要使 7a2b 能同时被 2，3，5 整除，则 b 为零；又要使 7a20 能被 3 整除，a 必须满足各位数字的和 7+2+0+a 能被 3 整除，又知 a 只能取 0 至 9 这十个数字，所以 a 只可取0，3，6，9。故满足条件的四位数有 4 个，即 7020，7320，7620，7920。例 4：求一个首位数字为 5 的最小六位数，使这个数能被 9 整除，且各位数字均不相同。分析：由于要求被 9 整除，可
6、只考虑数字和，又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为 9 的倍数。解：一个以 5 为首位数的六位数 5abcde，要使它最小，只可能是 501234（各位数字均不相同）。但是 501234 的数字和 5+0+1+2+3+4=15，并不是 9 的倍数，故只能将末位数字改为 7，这时，5+0+1+2+3+7=18 是 9 的倍数，故 501237 是 9 的倍数。即 501237 是以 5 为首位，且是 9 的倍数的最小六位数。例 5:用 0，1，3，5，7 这五个数字中的四个数字，可以组成许多没有重复数字的四位数，其中能被 11 整除的最小四位数是
7、多少?分析与解:所选的四个数应满足什么条件?(其中两个数的和与另外两个数的和相差是 11或 0)。要使其中两个数的和与另外两个数的和相差是 11，应选哪四个数？（0,1,5,7）用这四个数组成的四位数，且能被 11 整除，其中最小的一个数是 1507。要使其中两个数的和与另外两个数的和相差是 0，应选哪四个数？（1,3,5,7）用这四个数组成的四位数，且能被 11 整除，其中最小的一个数是 1375。 所以，所求的能被 11 整除的最小四位数是 1375。例 6：一个六位数，它能被 9 和 11 整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是 1997，那么这个六位数是 。1弘文学校
8、六年级奥数教案 解：设这个六位数是 a1997b，它能被 9 整除，所以 a+1+9+9+7+b=a+b+26，能被 9 整除，从而 a+b=1 或 10。当 a+b=1 时，只能 a=1、b=0，而 119970 不能被 11 整除，所以只有 a+b=10。a1997b 能被 11 整除，所以(a+9+7)-(1+9+b)=a+6-b=0 或 11，即得 b-a=6 或 a-b=5，当 a-b=5 时，无解，因此只有 b-a=6，解得 a=2，b=8。所以，这个六位数是 219978。二、练习1、一个三位数能被 3 整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是 17 的倍数，这样的三位数中，最大
9、的是 。2、从 0、3、5、7 这四个数字中任选 3 个，排成能同时被 2、3、5 整除的三位数，这样的三位数有 个。3、用数字 1、3、5、7、9 写一个五位数，不重复使用，并使它能被 125 整除，这个数最小是 。第 3 课时教学内容：整除的性质。教学目标：理解掌握整除的一些基本性质，并能灵活运用解决一些实际问题。教学重难点：如何运用整除的性质解决问题教学过程：一、 整除的性质(1) 若 a 能被 b 整除，b 能被 c 整除，那么 a 能被 c 整除。记作：若 b|a,c|b,则 c|a。 (2) 若 b 与 c 数都能被 a 整除，那么 b 与 c 的和与差都能被 a 整除。记作：若
10、a|b,a|c,则 a|(bc)。(3) 若 a 能 b 整除，那么，a 与任何自然数的乘积也能被 b 整除。记作：b|a, ,则 b|am。(4) 若 c 能被的乘积整除，那么，c 也能分别被 a 与 b 整除。记作：若 ab|c, 则 a|c,b|c。(5) 若 b 能分别被 a 与 c 整除，且 a 与 c 这两个数互质，那么 b 也能被 a 与 c 的积整除。记作：若 a|b,c|b,且(a,c)=1, 则 ac|b。二、 综合应用23弘文学校 六年级奥数教案 例 1：试证明由同一数字组成的三位数都是 37 的倍数。证明：设这三位数为 aaa, 则 aaa =111a37|111,37
11、|111a37|aaa对应练习：证明：abcabc 是 7、11、13 的倍数。例 2：已知 55a1235b, 求满足条件的所有六位数。解：55a1235b 而 55=5115a1235b， 11a1235bb=0 或 5 11（a+2+5）-（1+3 +b）当 b=0 时，11（a+2+5）-（1+3 +0）则 a=8当 b=5 时，11（a+2+5）-（1+3 +5）则 a=2所以，满足条件的六位数有：812350 和 212355例 3：老师买了 72 本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数，回校后发现有两个数字已看不清了。你能帮助补上这两个数字吗？（13.7
12、元，中为看不清的数字）。分析：首先将13.7元化成分，这样总钱数就是137（整数分）。由于每本书价格相同，所以 72|137。但 72=89，所以 8 和 9 都应整除137。解：72=89，13.7元=137分8|137，9|137由于 8 整除137，所以 8|37由此可知，当 37=376 时才有 8|376，故原数为1376。又由于 9 整除1376，所以其数字和+1+3+7+6，必是 9 的倍数。即 9|（+17），而只能是 1 到 9 中的某个数，所以只能且 1。因此，原数为 11376 分，即 113.76 元。例 4：已知四位数的个位与千位数字之和为 10，个位数字既是偶数又是
13、质数，百位数字与十位数字组成的两位数是个质数，又知这个四位数能被 36 整除，求所有满足条件的四位数中的最大者。解：因为个位数字既是偶数又是质数，所以个位数字为 2，又个位与千位数字之和为 10，故千位数字为 8。设这个四位数为 8ab2,36=49，4|8ab2， 9|8ab2 4|b2 ， 9|（8+a+b+2）即 9|(10+a+b)b=9,7,5,3,1当 a=9 时，因 9|（10+a+b） b=8，不符合 4|b2当 a=8 时，因 9|（10+a+b） b=9，符合 4|b2这个四位数最大为 8892。3弘文学校 六年级奥数教案 三、 练习1、一个四位数 ABCD 能被 7 整除
14、，且 3AB,5CD。 ABCD 最小是（ ） 。2、李老师为学校买了 72 支价格一样的钢笔，共付 A67.9B 元，每支钢笔多少元？3、已知 44a1235b, 求满足条件的所有六位数。4、六位数 能被 45 整除，求满足条件的所有六位数？BA4273第 4 课时教学内容：整除的特征与性质综合应用。教学目标：能灵活运用整除的特征与性质解决一些实际问题。提高学生综合解题能力。教学重难点：解决问题时数学语言的表达和书写教学过程：一、例题讲解例 1：在 568 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别被 3，4，5 整除，且使这个数尽可能的小。解：不妨设补上三个数字后的六位数为 568abc。由于这个六位数分别被 3，4，5 整除，故它应满足如下三个条件：（1） 数字和（5+6+8+a+b+c）是 3 的倍数；（2） 末两位数字组成的两位数 bc 是 4 的倍数；（3） 末位 c 为 0 或 5。由于 4|bc，故 c 不能是 5，而只能是 0，且 b 只可能是 2，4，6，8
