2014ppt第二章_随机变量

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1、第二章 随机变量 1 第二章 随机变量 提 纲 2.1 随机变量与离散型随机变量 随机变量的概念 分布列 常用离散型分布 离散型随机变量函数的分布 2.2 连续型随机变量、分布函数 连续型随机变量 分布函数 常用连续型分布 连续型随机变量函数的分布 2.3 数字特征 数学期望 方差与标准差 其他数字特征 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量 2 2.1 随机变量随机变量、离散型随机变量、离散型随机变量 第一章谈到， 概率论中采用概率空间 ( , ()P 对随机现象的建立数学模型， 描述其 规律性。建模的关键在于确定概率函数 ()P 。研究随机现象往往从研究其某些数量特征的 统计规

2、律入手。这就产生了随机变量 (random variable, r. v.) 的概念。 一、随机变量的概念一、随机变量的概念 若引进一个实变量来记录随机试验基本结果的某一个方面的数量特征，由于随机试验 可能出现的基本结果不止一种，出现哪种结果事先不确定、随机会而定，因而该变量的值 也必然随机会而定，故称之为随机变量。 定义定义 2.1.1 （随机变量）设随机试验的样本空间为 ，( )X 是定义在 上的实值函数， 即 ,( )xXx 唯一的。则称( )X为样本空间上的随机变量。 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量 3 例例 2.1.1 有些样本空间的样本点本身就是以数值形式表示的

3、。 (1) 掷一枚骰子，观察出现的点数。样本空间可取为 1,2,3,4,5,6。 a) 记出现的点数为随机变量 X，则 ( )X； b) 也可引进别的随机变量，如 1,if1,2,3, ( ) 0,else. Y (2) 观察某大卖场一天内来到的顾客数及其营业额。样本空间可取为 ( , ):0,1,2,0, )x yxy。 a) 记到达的顾客数为随机变量 X，则 ( , )Xx yx； b) 记营业额为随机变量 Y，则 ( , )Yx yy； c) 记人均消费额为随机变量 Z，则 , if0, ( , ) 0,if0. y xx Zx y x 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量

4、 4 有些样本空间的样本点本身不是数值，可根据研究需要定义适当的随机变量。 (3) 检验一个产品，看它是否合格。样本空间 =合格，不合格。 定义 r.v. X 为不合格品数，则 X() 0 合格 1 不合格 (4) 观测投掷一枚硬币三次的结果。样本空间 =HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT。 定义 r.v. X 为正面数，则 X() 0 TTT 1 HTT，THT，TTH 2 HHT，HTH，THH 3 HHH 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量 5 注：注： (1) 随机变量通常用大写英文字母 X, Y, Z, X1, X2, 等表示，随机变量的取

5、值常用小写字母 x, y, z, 等表示。 (2) 引进随机变量，使得样本空间中的一部分事件能用它的取值情况来表示。例如： 例 2.1.1 (1) 中，“Y=1”表示事件 1,2,3, “Y=0”表示事件 4,5,6，“2Y ”表示必然事 件，“Y0.5 时分布左偏。 (对称性) 若 XB(n, p)，则 Y=nXB(n, 1p)。 若记 i X 为第 i 次 Bernoulli 试验中的成功次数，则 1 n i i XX 。 概率计算：统计软件、查表、近似计算。 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量 14 例例 2.1.3 买一注 35 选 7 的彩票，若选择的 7 个号码中有

6、 6 个与开奖号一致，则中一等奖。 某人用随机选号的方式购买了100注这样的彩票， 求其中至少有一注中一等奖的概率。 解：解： 买一注彩票看是否中一等奖，可视为一次 Bernoulli 试验。以中一等奖为“成功”结果， 则一次试验中的成功概率为 735735 0.000029147 617 p 。 用随机选号方式买 100 注彩票， 可视为独立地重复了 100 次成功概率为 p 的 Bernoulli 试 验。因此，中一等奖的注数 (100, )XBp。1X 表示事件“至少有一注中一等奖” ， 0100100 (1)1(0) 1(1)1(10.000029147) 0.0029147. P X

7、P X pp 哪些试验可视为 n 重 Bernoulli 试验？ 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量 15 3. 超几何分布超几何分布 (Hypergeometric Distribution) 来源于对有限总体的不放回抽样。设一袋子中共有 N 球，其中有 M 个白球。从中不放不放 回地回地任取 n 个球，记抽中的白球数为 X。称 X HG(n; N, M)。 分布列为 (),max0,(),min, MNMN P XkknNMM n knkn 。 如果是有放回地随机抽球，那么抽中的白球数服从什么分布呢？ 当 nN且nM 时，不放回抽样与放回抽样非常接近，因此对 XHG(n;

8、N, M) 有 ()1 kn k n MM P Xk kNN ， 即 B( ,) M Xn N 。 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量 16 4. Poisson 分布分布 若离散型随机变量 X 的分布列为 (),0,1,2, ! k P Xkek k 其中参数 0。则称 X 服从参数为 的 Poisson 分布，记作 Poi( )X。 来源：二项分布概率的近似计算。 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量 17 1(1)(1) (1)() (1) ! 111 1 (1)(1)() (1). ! kn kkn k k kn k n n nnknp ppnp kknn

9、 knp np knnn 当 n 较大较大，k 较小较小时， 11 1 (1)(1)1 k nn ； 再若 np 较小，(1)n ke n ； 因此，当 n 较大较大，np 较小较小时，对于给定的较小的给定的较小的 k，有 (1) ! k kn k n ppe kk 。 近似效果：例如，可比较参数为 10,0.1;20,0.05;40,0.025;100,0.01npnpnpnp 的二项分布与参数为 1 的 Poisson 分布的概率值 ()P Xk，k=0，1，2，3，4。 （参见 教材 p99/表 2.4.3） 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量 18 应用： 用于对一定时

10、间段内某类事件发生的次数建模。基本假定：记在充分小的时间段 h 内，这类事件发生的次数为 Y，则 1) (1)P Y 与 h 成比例；2) (2)0P Y ；3) 在 不交叉的时间段内该类事件发生的次数相互独立。 用于对一定空间范围内某类事物出现的个数建模。 例 18751894 年间普鲁士军队中每年被马踢死的士兵数； 给定时间段内一个放射源发出的粒子数； 二次大战中，在固定时间长度内，伦敦被炮击中的城区数； 一分钟内到达某银行的人数； 一定时间内通过某个十字路口的汽车数； 单位布匹上的疵斑数 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量 19 例例 2.1.4 某非传染性疾病的发病率为

11、 0.001。某公司有 5000 人。问该公司患该病的人数超 过 5 人的概率。 解：解： 设该公司患该疾病的人数为 X。可认为 (5000,0.001)XB。要求的是 (5)P X 。因 n 很大，5000 0.0015np 较小，因此，对较小的 0,1,5k ，()P Xk可用 Poisson 分 布近似计算。故 5 5 0 (5)1(5) 5 110.6160.384. ! k k P XP X e k 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量 20 例例 2.1.5 例 1.3.5 所述 1910 年 Rutherford 实验中 7.5 秒时间内观测到了粒子数的频率分布 与

12、参数 3.87的 Poisson 分布非常接近。 7.5 秒内 测得的 粒子数 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 测得频 数 Nk 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 16 2608 频率 fk 0.0219 0.0778 0.1469 0.2013 0.2040 0.1564 0.1047 0.0533 0.0173 0.0104 0.0061 1.0000 Poi(3.87) 0.0209 0.0807 0.1562 0.2015 0.1949 0.1509 0.0973 0.0538 0.0260 0.0112 0.0065 1

13、.0000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0246810 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量 21 5. 几何分布几何分布 (Geometric Distribution) 独立地重复进行成功概率为 p 的 Bernoulli 试验，记首次成功时的试验次数为 X。称 X Ge(p)。 分布列为 1 ()(1),1,2,3, k P Xkppk 特点：无记忆性。对于 k0，s=0, 1 1 1 1 ()(1) (|) () (1) (1)(). k s l l s k P Xkspp P Xks Xs P Xs pp ppP Xk 第二章 随机变量 2.1 随

14、机变量、离散型随机变量 22 6. 负二项分布负二项分布 (Negative Binomial Distribution / Pascal Distribution) 独立地重复进行成功概率为 p 的 Bernoulli 试验，记第 r 次成功时的试验次数为 X。称 XNB(r, p)。 分布列为 1 ()(1),1, 1 k rr k P Xkppkr r r 若 记第 i1 次成功 之后至第 i 次 成功时的 试验次 数为 ,1,2, i Xir，则 1, ,i.i.d. Ge( ) r XXp，且 1 r i i XX 。 第二章 随机变量 2.1 随机变量、离散型随机变量 23 四、四、离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布（教材 p122123/2.6.1） 很多情况下需要了解随机变量函数的统计规律。 例例 2.1.6 设某生产线的次品率为 p。从其生产的大量产品中随机抽取 n 个，那么其中的次品 数 ( , )XB n p。通常也可能考虑： n 件产品中的合格品数 YnX 的分布； n 件产品中的不合格品率 X Z n 的分布；等等。 这里，Y，Z 都是随机变量 X 的函数。显然，它们也都是随机变量；而且它们的分布取 决于 X 的分布。 离散型随机变量的函数仍然是离散型随机变量。设离散型随机变量 X 的分布列为： (),1,2, k P Xx