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1、专题17：一次函数(正比例函数)的应用一、选择题1. （2012湖北黄石3分）有一根长的金属棒，欲将其截成根长的小段和根长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数，应分别为【 】A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】B。【考点】网格问题，一次函数的应用。【分析】根据金属棒的长度是40mm，则可以得到7x9y40，即。 如图，在网格中作。 则当线段AB上有整数点时，是废料为0，该点即为所求。但从图中可见，线段AB上没有整数点，故在ABC区域内离线段AB最近的整数点即为所求，图中可见，点（3，2）离线段AB最近。使废料最少的正整数x，y分别为x=3，y=2。 故选B。别解：且x为
2、正整数，x的值可以是： 1或2或3或4。当y的值最大时，废料最少，当x=1时， ，则y最大4，此时，所剩的废料是：401739=6mm ；当x=2时， ，则y最大2，此时，所剩的废料是：402729=8mm；当x=3时， ，则y最大2，此时，所剩的废料是：403729=1mm；当x=4时，则y最大1，此时，所剩的废料是：404719=3mm。使废料最少的正整数x，y分别为x=3，y=2。2. （2012辽宁阜新3分）如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b1的解集是【 】Ax0 Bx0 Cx1 D x1【答案】B。【考点】一次函数与一元一次不等式。【分析
3、】直接根据函数的图象与y轴的交点为（0，1）进行解答即可：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），当x0时，关于x的不等式kx+b1。故选B。3. （2012山东济南3分）一次函数y=kxb的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为【 】Ax=2 By=2 Cx=-1 Dy=-1 【答案】C。【考点】一次函数与一元一次方程的关系。【分析】直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可：一次函数y=kxb的图象与x轴的交点为（1，0），当y=kxb=0时，x=1。故选C。4. （2012山东潍坊3分）若直线y=2x4与直线y=4xb的交点在第三象限，则b的
4、取值范围是【 】A 4b8 B4b0 Cb8 D468【答案】A。【考点】两条直线相交问题，解二元一次方程组，平面直角坐标系中各象限点的特征，解一元一次不等式组。 【分析】联立y=2x4和y=4xb，求解得交点坐标，x和y的值都用b来表示，再根据交点坐标在第三象限表明x、y都小于0，即可求得b的取值范围：由解得。交点在第三象限，解得。4b8。故选A。5. （2012河南省3分）如图，函数和的图象相交于A(m，3),则不等式的解集为【 】A B C D【答案】A。【考点】一次函数与一元一次不等式，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），3=2m，
5、解得m=。点A的坐标是（，3）。当时，y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方，不等式2xax+4的解集为。故选A。6. （2012内蒙古呼和浩特3分）下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x2y=2的解是【 】A B C D【答案】C。【考点】直线上点的坐标与方程的关系。【分析】x2y=2，即y=x1，当x=0，y=1；当y=0，x=2。一次函数y=x1，与y轴交于点（0，1），与x轴交于点（2，0），即可得出C符合要求。故选C。二、填空题1. （2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a1，2a3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2mn3)2的值等于 【答
6、案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】由于a不论为何值此点均在直线l上，令a=0，则P1（1，3）；再令a=1，则P2（0，1）。设直线l的解析式为y=kx+b（k0）， ，解得 。直线l的解析式为：y=2x1。Q（m，n）是直线l上的点，2m1=n，即2mn=1。(2mn3)2=（1+3）2=16。2. （2012江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0），P是以点P为圆心，2为半径的圆。若一次函数的图象过点A（1，0）且与P相切，则的值为 。【答案】或。【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一
7、次函数的性质。【分析】如图，设一次函数与y轴交于点C，与P相切于点P。 则OA=1，OC=b，OP=3，BP=2，AP=4。 。 由AOCABP，得，即，解得。 。 由图和一次函数的性质可知，k，b同号，或。3. （2012江苏淮安3分）如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h。【答案】4。【考点】一次函数的图象和应用。【分析】要求这两人骑自行车的速度相差，只要由图象求出两人5 h行驶的距离即可： 甲5 h行驶的距离为100 km，故速度为1005=20 km/h；乙5 h行驶的距离为100
8、km20km =80 km，故速度为805=16 km/h。这两人骑自行车的速度相差2016=4 km/h。4. （2012湖北恩施4分）如图，直线经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组0kx+bx的解集为 【答案】3x6。【考点】一次函数与一元一次不等式，不等式组的图象解法。【分析】如图，作的图象， 知经过A（3，1）。 则不等式组0kx+bx的解集即直线在x轴上方和直线下方时x的范围。 3x6。5. （2012湖北黄冈3分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇
9、已知货车的速度为60千米时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：快递车从甲地到乙地的速度为100千米时；甲、乙两地之间的距离为120千米；图中点B的坐标为(，75)；快递车从乙地返回时的速度为90千米时以上4个结论中正确的是 (填序号)【答案】。【考点】一次函数的应用。【分析】设快递车从甲地到乙地的速度为v1千米时， 由已知，货车的速度为60千米时， 由图象知，货车行驶时间3小时时，两车相距120千米，得 ，解得v1=100。 快递车从甲地到乙地的速度为100千米时。故结论正确。 由图象知，快递车行驶3小时到达乙地，甲、乙两地之间的距离为3
10、100=300（千米）。故结论错误。 快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，即小时， 点B的横坐标为3。 又小时货车行驶了（千米），此时两车相距12045=75（千米），即点B的纵坐标为75。图中点B的坐标为(，75)。故结论正确。 设快递车从乙地返回时的速度为v2千米时， 由和图象可得，解得v2=90。 快递车从乙地返回时的速度为90千米时。故结论正确。综上所述，结论正确。6. （2012辽宁朝阳3分）如图所示的折线ABC为甲地向乙地打长途电话需付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系，则通话8分钟应付电话费 元。【答案】7.4。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线
11、上点的坐标与方程的关系。【分析】根据图形写出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出射线BC的解析式，再把t=8代入解析式进行计算即可得解：由图象可得，点B（3，2.4），C（5，4.4），设射线BC的解析式为y=ktb（t3），则，解得。射线BC的解析式为y=t0.6（t3）。当t=8时，y=80.6=7.4（元）。通话8分钟应付电话费7.4元。7. （2012山东威海3分）如图，直线l1，l2交于点A。观察图象，点A的坐标可以看作方程组 的解.【答案】。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】观察图象，知l1经过点A（1，1）和点（0，1），l2经过点A（1，1）和点（0，2
12、）。 设l1的解析式为，将（1，1）和点（0，1）代入得 ，解得。l1的解析式为。 设l2的解析式为，将（1，1）和点（0，2）代入得，解得。l2的解析式为。点A的坐标可以看作方程组的解。三、解答题1. （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量（注：总成本=每吨的成本生产数量）【答案】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（10，10）（50，6）代入解析式得
13、：，解得：。y关于x的函数解析式为y=x+11（10x50）。（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）。该产品的生产数量为40吨。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程。【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域。（2）根据总成本=每吨的成本生产数量，利用（1）中所求得出即可。2.（2012陕西省8分）科学研究发现，空气含氧量y（克/立方米）与海拔高度x（米）之间近似地满足一次函数关系经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米（1）求出y与x的函数表达式；（2）已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？【答案】解：（1）设，则由在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米，得 ，解得。 y与x的函数表达式为。 （2）当x=1200时，（克/立方米）。 该
