第十六届“华杯赛”小学组决赛试题A及参考答案

“华杯赛”官方网站 第十 六 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A(小学组 ) - 1 - 第十 六 届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决 赛试 题 A（小学组） （ 时间 : 2011 年 4 月 16 日 10:00～ 11:30） 一、 填空题 （每小题 10 分, 共 80 分） 1. 1 3 5 71 3 5 72 4 6 8    . 2. 工程队的 8 个人用 30 天完成了某项工程的 31 , 接着增加了 4 个人 完成其余的工程 , 那么完成这项工程共 用 了 天 . 3. 甲乙两人骑自行车同时从 A地出发去 B地 , 甲的车速是乙的车速的 1.2倍 . 乙骑了 5 千米 后 , 自行车出现故障, 耽误的时间 可以骑全程的 61 . 排除故障后 , 乙 的速度 提高 了 60%, 结果甲乙同时到达 B地 . 那么 A, B两地之间的距离为 千米 . 4. 在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟 , 在圆形钟面的边界, 每分钟的刻度处都有一个小彩灯 . 晚上 9 时 35 分 20 秒时 , 在分针与时针所夹的 锐 角内有 个小彩灯 . 5. 在边长为 1厘米的正方形 ABCD中 , 分别以 A, B, C, D为圆心 , 1厘米为半径画四分之一圆 , 交点 E, F, G, H, 如图所示 . 则中间阴影部分的周长为 厘米 .（取圆周率3.141 ） 6. 用 40 元钱购买单价分别为 2 元、 5 元和 11 元的三种练习本 , 每种至少买一本 , 而且钱恰好花完 . 则不同的购买方法有 种 . 7. 已知某个几何体的三视图如 右 图 , 根据图中标示的尺寸（单位 : 厘米 ） , 这个几何体的体积 是 （ 立方厘米 ） . 学校____________ 姓名_________参赛证号密封线内请勿答题总分 - 2 - 8. 将自然数 1~22 分别填在下面的“□”内 (每个“□”只能填一个数 ), 在形成的 11 个分数中 , 分数值为整数的最多能有 个 . 二、解答下列各题 （ 每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程 ） 9. 长方形 ABCD 的面积是 2011 平方厘米 . 梯形AFGE 的顶点 F 在 BC 上 , D 是腰 EG 的中点 . 试求梯形 AFGE 的面积 . 10. 公交车 的 线路 号是由 数字显示 器显示的三位数 , 其中每个数字是由横竖放置的 七 支荧光管显示 , 如右图所示 . 某公交车的 数字显示 器有两支 坏了 的荧光管不亮, 显示的线路号为“ 351” , 则该公交车的线路号有哪些可能 ? 11. 设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数 , 则这个月的 20 日可能是星期几 ? 12. 以 []x 表示不超过 x 的最大整数 , 设自然数 n 满足 20111515 1153152151   nn, 则 n 的最小值 是多少 ? 三、解答下列各题 （每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 在 右 面 的 加法竖式中 , 不同的汉字代表不同的数字. 问 : 满足要求的 不同 算式共有多少种 ? 14. 如图, 两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点 A, 而一只爬虫处在 A 的体对顶点 G. 假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移动 , 任何时候它们都知道彼此的位置 , 蜘蛛能预判爬虫的爬行方向 . 试给出一个两- 3 - 只蜘蛛必定捉住爬虫的方案 . 第十六 届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A参考答案 （小学 组） 一、 填空题 (每小题 10 分，共 80 分 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 2318 .24 70 45 12 2.094 5 80003 10 二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分 , 要求写出简要过程 ) 9. 答案 : 2011 平方厘米 . 解答 . 连接 FD的直线与 AE的延长线相交于 H. 则△DFG 绕点 D 逆时针旋转 180o 与△ DHE 重合 , DF=DH, ADHAFD SS   . 梯形 AEGF 的面积 =△ AFH的面积 =2×△AFD 的面积 =长方形 ABCD 的面积 =2011（平方厘米） . 10. 答案 ： 13 种可能 . 解答 . 分几种情 形 考虑 . 第一种情形 : 线路号的数字中没有荧光管坏了 . 只有 351 一个可能线路号 . 第二种情形 : 线路号的数字中有 1 支荧光管坏了 . 坏在第一位数字上 , 可能的数字为 9, 线路号可能是 951; 坏在第二位数字上 , 可能的数字为 6,9, 线路号可能是 361, 391; 坏在第三位数字上 , 可能的数字 为 7, 线路号可能是 357. 第三种情形 : 线路号的数字中有 2 支荧光管坏了 . 都坏在第一位数字上 , 可能的数字为 8, 线路号可能是 851; 都坏在第二位数字上 , 可能的数字为 8, 线路号可能是 381; 都坏在第三位数字上 , 可能的数字为 4, 线路号可能是 354; 坏在第一、二位数字上 , 第一位数字可能的数字为 9，第二位数字可能的数字为 6， 9, 线路号可能是 961， 991; 坏在第一、三位数字上 , 第一位数字可能的数字为 9，第三位数字可能的数字为 7, 线路号可能是 957; 坏在第二、三位数字上 ,第二位数字可能的数字为 6， 9, 第三位数字可能的数字为 7，线路号可能是 367, 397. 所以可能的线路号有 13 个 : 351,354,357,361,367,381,391,397,851,951,957,961,991. 11. 答案 : 3, 5. 解答 . 设这个月的第一个星期日是 a 日（ 71 a ） , 则这个月内星期日的日期是 ak7 , k 是 自然数 , 317 ak . 要求有三个奇数 . 当 a=1 时 , 要使 7k+1 是奇数 , k 为偶数 , 即 k 可取 0, 2, 4 三个值 , 此时 , 177  kak 分别为 1, 15, 29, 这时 20 号是星期五 . 当 a=2时 , 要使 7k+2是奇数 , k 为奇数 , 即 k 可取 1, 3两个值 , 7k+2不可能有三个奇数 . 当 a=3 时 , 要使 7k+3 是奇数 , k 为偶数 , 即 k 可取 0, 2, 4 三个值 , 此时 377  kak 分别为 3, 17, 31, 这时 20 号是星期三 . 当 74 a 时 , ak7 不可能有三个奇数 . 12. 答案 : 253. 解 ：令 km 15 , k 是自然数 , 首先考虑满足下式的最大的 m, .2 0 1 11515 1153152151   mm 于是 .2 0 1 1213152)1(1515)1(152151150151511531521512 kkkkkkkmm因此 .40221315 2  kk 又 4 0 2 24 1 1 417131715 2  , 4022363216131615 2  , 得知 k 最大可以取 16. 当 16k 时 , m=240. 注意到这时 312161 9 523 6 3 22 0 1 12 13152 0 1 1 2  kk . 注意到 20112024131618161513151615121516152151615115161515161511516152151      而 2 0 1 12 0 0 812161 8 1 615 121516153152151   . 所以 253 是满足题目要求的 n 的最小值 . 三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程 ) 13. 答案 : 312 解答 . 由于 2+0+1+1=4 且 0+1+2+3+4+6+7+8+9=40, 4≡40(mod 9), 所以 , 九个不同的汉字代表的数字： 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. 易知： 40-4=36, 36÷9=4（次） , 说明此算式共发生四次进位 . “4=2+2=1+1+2=1+2+1” 显然： ①华 =1, “4=2+2”无解 ②华 =1, “4=1+1+2”有解 A:28+937+1046=2011, 可组成算式 36 种（ 6×6×1=36） B： 69+738+1204=2011, 可组成算式 48 种（ 6×4×2=48） C： 79+628+1304=2011, 可组成算式 48 种（ 6×4×2=48） ③华 =1, “4=1+2+1”有解 A： 46+872+1093=2011, 可组成算式 36 种（ 6×6×1=36） B： 98+673+1240=2011, 可组成算式 72 种（ 6×6×2=72） C： 97+684+1230=2011, 可组成算式 72 种（ 6×6×2=72） 总计： 72×3+96=216+96=312（种） . 14. 解答 . 如左下图 , 设 M, N, P 分别为棱 GC, GF, GH 的中点 , 'M , 'N , 'P 分别为棱 AE, AD, AB 的中点 , O 为正方体的中心 (长方形 BDHF 的中心 ). (1) 第一只蜘蛛甲可以把爬虫控制在右上图所示的范围内 . 首先蜘蛛甲做与爬虫关于点 O的对称方向的移动 , 不妨设爬虫由 G 沿棱 GC向点 M移动, 蜘蛛甲由 A沿棱 AE向点 'M 移动 , 爬虫被限制在 GM上 . 当爬虫到达点 M 时 , 蜘蛛甲也同时到达点 'M . 然后蜘蛛甲改变策略 , 做与爬虫关于平面BDHF 对称的方向移动 . a) 当爬虫到达点 B, D, F, H 时 , 蜘蛛甲捉住爬虫 . b) 当爬虫未到达点 B, D, F, H 时 , 爬虫被控制在左上图所示的范围内 . (2) 蜘蛛乙先移动到点 G, 由于右上图无环路 , 蜘蛛乙可以跟在爬虫后面 , 总可以捉住爬虫 . 。